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科目: 來(lái)源:2012年上海市普陀區(qū)高三年級(jí)第二次質(zhì)量調(diào)研二模理科試卷(解析版) 題型:解答題

設(shè)點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上的個(gè)不同的點(diǎn)().

(1) 當(dāng)時(shí),試寫出拋物線上的三個(gè)定點(diǎn)、的坐標(biāo),從而使得

;

(2)當(dāng)時(shí),若,

求證:;

(3) 當(dāng)時(shí),某同學(xué)對(duì)(2)的逆命題,即:

“若,則.”

開(kāi)展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

請(qǐng)你就此從以下三個(gè)研究方向中任選一個(gè)開(kāi)展研究:

① 試構(gòu)造一個(gè)說(shuō)明該逆命題確實(shí)是假命題的反例(本研究方向最高得4分);

② 對(duì)任意給定的大于3的正整數(shù),試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說(shuō)明你的理由(本研究方向最高得8分);

③ 如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真,請(qǐng)寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件,并說(shuō)明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).

【評(píng)分說(shuō)明】本小題若填空不止一個(gè)研究方向,則以實(shí)得分最高的一個(gè)研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問(wèn)利用拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè),

分別過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問(wèn)設(shè),分別過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問(wèn)中①取時(shí),拋物線的焦點(diǎn)為

設(shè),分別過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

,不妨取;;

解:(1)拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè),

分別過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

 

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image010.png">,所以,

故可取滿足條件.

(2)設(shè),分別過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image017.png">

;

所以.

(3) ①取時(shí),拋物線的焦點(diǎn)為

設(shè),分別過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

,

,不妨取;;;,

,

.

,,是一個(gè)當(dāng)時(shí),該逆命題的一個(gè)反例.(反例不唯一)

② 設(shè),分別過(guò)

拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為

及拋物線的定義得

,即.

因?yàn)樯鲜霰磉_(dá)式與點(diǎn)的縱坐標(biāo)無(wú)關(guān),所以只要將這點(diǎn)都取在軸的上方,則它們的縱坐標(biāo)都大于零,則

,所以.

(說(shuō)明:本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個(gè)不同的點(diǎn),均為反例.)

③ 補(bǔ)充條件1:“點(diǎn)的縱坐標(biāo))滿足 ”,即:

“當(dāng)時(shí),若,且點(diǎn)的縱坐標(biāo))滿足,則”.此命題為真.事實(shí)上,設(shè)

分別過(guò)作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,由,

及拋物線的定義得,即,則

,

又由,所以,故命題為真.

補(bǔ)充條件2:“點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù),關(guān)于軸對(duì)稱”,即:

“當(dāng)時(shí),若,且點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù),關(guān)于軸對(duì)稱,則”.此命題為真.(證略)

 

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科目: 來(lái)源:2012年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(江蘇卷解析版) 題型:填空題

已知集合,,則  ▲ 

 

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某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為,現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校

高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為50的樣本,則應(yīng)從高二年級(jí)抽取  ▲  名學(xué)生.

 

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設(shè),(i為虛數(shù)單位),則的值為  ▲ 

 

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下圖是一個(gè)算法流程圖,則輸出的k的值是  ▲ 

 

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函數(shù)的定義域?yàn)?u>  ▲  .

 

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現(xiàn)有10個(gè)數(shù),它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù),則它小于8的概率是  ▲ 

 

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如圖,在長(zhǎng)方體中,,,則四棱錐的體積為  ▲  cm3

 

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在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線的離心率為,則的值為  ▲ 

 

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如圖,在矩形中,點(diǎn)的中點(diǎn),點(diǎn)在邊上,若,則的值是  ▲ 

 

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