設(shè)點是拋物線的焦點,是拋物線上的個不同的點().

(1) 當(dāng)時,試寫出拋物線上的三個定點、的坐標(biāo),從而使得

;

(2)當(dāng)時,若,

求證:

(3) 當(dāng)時,某同學(xué)對(2)的逆命題,即:

“若,則.”

開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究:

① 試構(gòu)造一個說明該逆命題確實是假命題的反例(本研究方向最高得4分);

② 對任意給定的大于3的正整數(shù),試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說明你的理由(本研究方向最高得8分);

③ 如果補(bǔ)充一個條件后能使該逆命題為真,請寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個條件,并說明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).

【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向,則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問利用拋物線的焦點為,設(shè),

分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問中①取時,拋物線的焦點為,

設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

,

,不妨取;;

解:(1)拋物線的焦點為,設(shè)

分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

 

因為,所以

故可取滿足條件.

(2)設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因為

;

所以.

(3) ①取時,拋物線的焦點為

設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

,

,不妨取;,

.

,,是一個當(dāng)時,該逆命題的一個反例.(反例不唯一)

② 設(shè),分別過

拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,

及拋物線的定義得

,即.

因為上述表達(dá)式與點的縱坐標(biāo)無關(guān),所以只要將這點都取在軸的上方,則它們的縱坐標(biāo)都大于零,則

,

,所以.

(說明:本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個不同的點,均為反例.)

③ 補(bǔ)充條件1:“點的縱坐標(biāo))滿足 ”,即:

“當(dāng)時,若,且點的縱坐標(biāo))滿足,則”.此命題為真.事實上,設(shè),

分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,由

及拋物線的定義得,即,則

,

又由,所以,故命題為真.

補(bǔ)充條件2:“點與點為偶數(shù),關(guān)于軸對稱”,即:

“當(dāng)時,若,且點與點為偶數(shù),關(guān)于軸對稱,則”.此命題為真.(證略)

 

【答案】

見解析

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=4x,點F是拋物線的焦點,點M在拋物線上,O為坐標(biāo)原點.
(1)當(dāng) 
FM
OM
=4
時,求點M的坐標(biāo);
(2)求 
|
OM
|
|
FM
|
的最大值;
(3)設(shè)點B(0,1),是否存在常數(shù)λ及定點H,使得 
BM
+2
FM
HM
恒成立?若存在,求出λ的值及點H的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過曲線上一點與以此點為切點的切線垂直的直線,叫做曲線在該點的法線.
已知拋物線C的方程為y=ax2(a>0,x≠0).點M(x0,y0)是C上任意點,過點M作C的切線l,法線m.
(I)求法線m與拋物線C的另一個交點N的橫坐標(biāo)xN取值范圍;
(II)設(shè)點F是拋物線的焦點,連接FM,過點M作平行于y軸的直線n,設(shè)m與x軸的交點為S,n與x軸的交點為K,設(shè)l與x軸的交點為T,求證∠SMK=∠FMN

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年東北四校高三第一次高考模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題

(本小題滿分12分)

已知橢圓M的中心為坐標(biāo)原點 ,且焦點在x軸上,若M的一個頂點恰好是拋物線的焦點,M的離心率,過M的右焦點F作不與坐標(biāo)軸垂直的直線,交M于A,B兩點。

(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)點N(t,0)是一個動點,且,求實數(shù)t的取值范圍。

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:黑龍江省2009-2010學(xué)年度上學(xué)期高三期末(數(shù)學(xué)理)試題 題型:解答題

已知橢圓的焦點在軸上,它的一個頂點恰好是拋物線的焦點,離心率,過橢圓的右焦點作與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于兩點.

(1)求橢圓方程; 

(2)設(shè)點是線段上的一個動點,且,求的取值范圍;

(3)設(shè)點是點關(guān)于軸對稱點,在軸上是否存在一個定點,使得三點共線?若存在,求出定點的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

 

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