科目： 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

若n∈N，x>0，求證：。

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已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，求證：(a+)²+(b+)²+(c+)²≥。

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定義：若對(duì)于給定區(qū)間D內(nèi)任意的實(shí)數(shù)x₁和x₂都有f()≥[f(x₁)+f(x₂)]，則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的上凸函數(shù)。上凸函數(shù)有如下的性質(zhì)：

若在上凸函數(shù)f(x)的圖象上依次取n個(gè)(n≥3)點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），則凸n邊到P₁P₂P₃…P_n的生心G（，）必在函數(shù)y=f(x)的圖象下方或圖象上。

運(yùn)用上述定義或性質(zhì)證明。

（1）f(x)=lgx在區(qū)間（0，+∞）上是上凸函數(shù)；

（2）設(shè)x₁，x₂，…，x_n為正實(shí)數(shù)，則≥。

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若m，n∈N^*，m<n，求證：(1+)^m<(1+)ⁿ。

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設(shè)0<θ<π，求函數(shù)y=(1+cosθ)sin的最大值。

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已知函數(shù)f(x)=log₃(x²－4mx+4m²+m+)，其中實(shí)數(shù)m>1，求證：f(x)的最小值不小于1。

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若=1，（x>0，y>0，常數(shù)a，b>0且a≠b），求x+y的最小值。

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求函數(shù)y=x²(2－5x)(0<x<)的最大值。