已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C₁：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）若橢圓C₁與雙曲線C₂：

y2

3

-

x2

1

=1的離心率互為倒數(shù)，求此時(shí)實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若直線l經(jīng)過點(diǎn)F₁和點(diǎn)（0，1），且原點(diǎn)到直線l的距離為

2

2

；又另一條直線m，斜率為1，與橢圓C₁交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，

OE

⊥

OF

，求直線m的方程；
（Ⅲ）若在直線x=

a2

a2-1

上存在點(diǎn)P，使線段PF₁的中點(diǎn)M

MF2

⊥

PF1

．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，A₁B₁⊥BC，BC=1，

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），(0，

3

)、F分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）、BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：C₁F∥平面ABE；
（Ⅱ）求三棱錐A-BCE的體積．

在復(fù)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)z=x+yi（x，y∈R），且滿足|z+

3

|+|z-

3

|=4，設(shè)動(dòng)點(diǎn)z所應(yīng)對(duì)的（x，y）的軌跡是曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若直線y=kx+2與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求

OA

•

OB

的取值范圍．

給出下列命題：
①“x=2”是“x²=4”的充分不必要條件；
②設(shè)A={x||x|≤3}，B={y|y=-x²+t}，若A∩B=∅，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為[3，+∞）；
③若log₂x+log_x2≥2，則x＞1；
④存在x，y∈R，使sin（x-y）=sinx-siny；
⑤若命題p：對(duì)任意的x∈R，函數(shù)y=cos（2x-

π

3

）的遞減區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z），命題q：存在x∈R使tanx=1，則命題“p且q”是真命題．
其中真命題的序號(hào)為（　�。�

已知等差數(shù)列{a_n}得前n項(xiàng)和為S_n，且a₂+a₃=2S₂，a_2n=2a_n+1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

＜

1

2

．

已知A，B，C是不共線的三點(diǎn)，

m

與

AB

是平行向量，與

BC

是共線向量，則

m

=．

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，E為A₁B₁的中點(diǎn)，則異面直線D₁E與BC₁間的距離為．

已知關(guān)于x的方程x²-mx+m²-1=0在R上無正根，求m的取值范圍．

約束條件

y≥-1 x-y≥2 3x+y≤14

，若使z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值是．

已知函數(shù)f（x）=-

mx2

lnx

，g(x)=m-

mx2

emx

，其中m∈R且m≠0．e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)m＜0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極小值；
（Ⅱ）當(dāng)m＞0時(shí)，若函數(shù)g（x）存在a，b，c三個(gè)零點(diǎn)，且a＜b＜c，試證明：-1＜a＜0＜b＜e＜c；
（Ⅲ）是否存在負(fù)數(shù)m，對(duì)?x₁∈（1，+∞），?x₂∈（-∞，0），都有f（x₁）＞g（x₂）成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．