已知復(fù)數(shù)z=（m²-8m+15）+（m²-9m+18）i，實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，
（1）復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)；      
（2）復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)；       
（3）復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限．

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=2a_n-2
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

(n+1)log2an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₃+S₄=S₅，a₇=5a₂+2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（

1

2

）^n-1，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長(zhǎng)都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°．
（1）證明：BD⊥AA₁；
（2）求二面角A₁-C₁D-B的平面角的余弦值．

已知三條直線a、b、c，若這三條直線兩兩相交，且交點(diǎn)分別為A、B、C，試判斷這三條直線是否共面．

（Ⅰ）若點(diǎn)P（x，y）在曲線|x|+|y|=1上（xy≠0），求證：

x2

|y|

+

y2

|x|

≥1．
（Ⅱ）已知CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在弦AB與弦AC上，且BC•AE=DC•AF，B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，證明：△ABC是直角三角形．

已知復(fù)數(shù)z=

1+i

1-i

+3-5i求：
（1）z；
（2）|z|．

已知直線l₁：3x-4y-6=0和直線l₂=-

p

2

，若拋物線C：x²=2py（p＞0）上的點(diǎn)到直線l₁和直線l₂的距離之和的最小值為2．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）直線l過拋物線C的焦點(diǎn)F與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且AA₁，BB₁都垂直于直線l₂與y軸的交點(diǎn)為Q，求證：

S△QAB2

S△QAA1•S△QBB1

為定值．

在區(qū)間D上，如果函數(shù)f（x）為增函數(shù)，而函數(shù)

1

x

f（x）也是增函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“和諧”函數(shù)．已知函數(shù)f（x）=1-

1

x

．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

4

，

9

4

]上是否為“和諧”函數(shù)；
（Ⅱ）若P是函數(shù)f（x）圖象上的任一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線x-2y=0的最短距離；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[

1

4

，

9

4

]時(shí)，不等式1-ax≤

1

x

≤1+2ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=

2

，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AC=2，AB=BC=1，E為AD中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求平面PAB與平面PCD所成的二面角．