Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=

2

，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AC=2，AB=BC=1，E為AD中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求平面PAB與平面PCD所成的二面角．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出PE⊥AD，由此能證明PE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）連結(jié)BE，由已知條件得四邊形EBCD是平行四邊形，從而得到∠PBE是異面直線PB與CD所成的角，由此能求出異面直線PB與CD所成的角的余弦值．
（Ⅲ）以E為原點(diǎn)，EC為x軸，ED為y軸，EP為z軸，建立空直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面PAB與平面PCD所成的二面角．

解答： （Ⅰ）證明：在△PAD中PA=PD，E為AD中點(diǎn)，
∴PE⊥AD
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE?平面PAD，
所以PE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：連結(jié)BE，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，
有ED∥BC且ED=BC，
∴四邊形EBCD是平行四邊形，
∴EB∥DC
由（Ⅰ）知PE⊥EB，∠PBE為銳角，
∴∠PBE是異面直線PB與CD所成的角
∵AC=2，AB=BC=1，
在Rt△AEB中，AB=1，AE=1，∴EB=

2

，
在Rt△PEA中，AP=

2

，AE=1，∴EP=1，
在Rt△PBE中，PB=

EP2+EB2

=

3

，
cos∠PBE=

EB

PB

=

2

3

=

6

3

，
∴異面直線PB與CD所成的角的余弦值為

6

3

．
（Ⅲ）解：以E為原點(diǎn)，EC為x軸，ED為y軸，EP為z軸，
建立空直角坐標(biāo)系，
A（0，-1，0），B（1，-1，0），P（0，0，1），
C（1，0，0），D（0，1，0），

PA

=(0，1，1)，

PB

=(-1，1，1)，

PC

=(-1，0，1)，

PD

=(0，-1，1)，
設(shè)平面PAB的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • PA =y+z=0 n • PB =-x+y+z=0

，
取y=1，得

n

=(0，1，-1)，
設(shè)平面PCD的法向量

m

=(a，b，c)，
則

m • PC =-a+c=0 m • PD =-b+c=0

，
取a=1，得

m

=(1，1，1)，
∵

n

•

m

=0，
∴平面PAB與平面PCD所成的二面角為90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．