等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．已知a₁=10，a₂為整數(shù)，且S_n≤S₄．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

設各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n滿足S_n²-（n²+n-3）S_n-3（n²+n）=0，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）證明：對一切正整數(shù)n，有

1

a1(a1+1)

+

1

a2(a2+1)

+…+

1

an(an+1)

＜

1

3

．

已知{a_n}是等差數(shù)列，滿足a₁=3，a₄=12，數(shù)列{b_n}滿足b₁=4，b₄=20，且{b_n-a_n}為等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項和．

底面邊長為2的正三棱錐P-ABC，其表面展開圖是三角形P₁P₂P₃，如圖，求△P₁P₂P₃的各邊長及此三棱錐的體積V．

在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且a＞c，已知

BA

•

BC

=2，cosB=

1

3

，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B-C）的值．

某大學餐飲中心為了解新生的飲食習慣，在全校一年級學生中進行了抽樣調查，調查結果如下表所示：

	喜歡甜品	不喜歡甜品	合計
南方學生	60	20	80
北方學生	10	10	20
合計	70	30	100

（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；
（Ⅱ）已知在被調查的北方學生中有5名數(shù)學系的學生，其中2名喜歡甜品，現(xiàn)在從這5名學生中隨機抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率．
附：X²=

n(n11n22-n12n21)2

n1+n2+n+1n+2

   

P（x2＞k）	0.100	0.050	0.010
k	2.706	3.841	6.635

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，A₁B⊥BB₁，
（1）求證：A₁C⊥CC₁；
（2）若AB=2，AC=

3

，BC=

7

，問AA₁為何值時，三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積最大，并求此最大值．

已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+ax+2，曲線y=f（x）在點（0，2）處的切線與x軸交點的橫坐標為-2．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）證明：當k＜1時，曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點．

某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為

2

3

和

3

5

．現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B，設甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立．
（Ⅰ）求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；
（Ⅱ）若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預計企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預計企業(yè)可獲利潤100萬元，求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學期望．

已知雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別為l₁：y=2x，l₂：y=-2x．
（1）求雙曲線E的離心率；
（2）如圖，O為坐標原點，動直線l分別交直線l₁，l₂于A，B兩點（A，B分別在第一、第四象限），且△OAB的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程，若不存在，說明理由．