不等式的解集為______.

設，是虛數(shù)單位.若復數(shù)是純虛數(shù)，則      .

設函數(shù)．

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當時，若方程在上有兩個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）證明：當時，．

已知橢圓的短半軸長為，動點在直線（為半焦距）上．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）求以為直徑且被直線截得的弦長為的圓的方程；

（Ⅲ）設是橢圓的右焦點，過點作的垂線與以為直徑的圓交于點，

求證：線段的長為定值，并求出這個定值．

一個口袋中有個白球和個紅球（，且），每次從袋中摸出兩個球（每次摸球后把這兩個球放回袋中），若摸出的兩個球顏色相同為中獎，否則為不中獎．

(Ⅰ)試用含的代數(shù)式表示一次摸球中獎的概率；

(Ⅱ)若，求三次摸球恰有一次中獎的概率；

(Ⅲ)記三次摸球恰有一次中獎的概率為，當為何值時，取最大值.

如圖，三棱柱中，側棱平面，為等腰直角三角形，，且分別是的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求銳二面角的余弦值.

設數(shù)列的前項和為，且，其中是不為零的常數(shù)．

（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）當時，數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．

已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（Ⅱ）在中，分別是角的對邊，且，求的面積.

如圖，切圓于點，割線經(jīng)過圓心，，繞點逆時針旋轉到，則的長為          .

己知，若恒成立，利用柯西不等式可求得實數(shù)的取值范圍是          .