12．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線的頂點在原點，焦點為F（1，0）．過拋物線在x軸上方的不同兩點A、B作拋物線的切線AC、BD，與x軸分別交于C、D兩點，且AC與BD交于點M，直線AD與直線BC交于點N．
（Ⅰ）求拋物線的標準方程；
（Ⅱ）求證：MN⊥x軸；
（Ⅲ）若直線mn與X軸的交點恰為F（1，0），求證：直線AB過定點．

11．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{π}{6}$，a_n+1∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），且tana_n+1•cosa_n=1（n∈N^*）．
（1）求{tan²a_n}的前n項和；
（2）求正整數(shù)m，使得11sina₁•sina₂…sina_m=1．

10．設橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸為AB，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，M為橢圓上非A，B的點，MA，MB與x軸交于點E，F(xiàn)，且|OE|•|OF|=4
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若P，Q為橢圓上兩點，連接OP，OQ，滿足k_OP•k_OQ=-$\frac{1}{4}$，求證：|OP|²+|OQ|²為定值．

9．已知點列T：P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…P_k（x_k，y_k） （k∈N^*，k≥2）滿足P₁（1，1），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{i}={x}_{i-1}+1}\\{{y}_{i}={y}_{i-1}}\end{array}\right.$與$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{i}={x}_{i-1}}\\{{y}_{i}={y}_{i-1}+1}\end{array}\right.$（i=2，3，4…k）中有且只有一個成立．
（1）寫出滿足k=4的所有點列；
（2）證明：對于任意給定的k（k∈N^*，k≥2），不存在點列T，使得$\sum_{i=1}^{k}{x}_{i}$+$\sum_{i=1}^{k}{y}_{i}$=2^k；
（3）當k=2n-1且P_2n-1（n，n）（n∈N^*，n≥2）時，求$\sum_{i=1}^{k}{x}_{i}×\sum_{i=1}^{k}{y}_{i}$ 的最大值．

8．如圖，已知橢圓C$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，點B坐標為（0，-1），過點B的直線與橢圓C的另外一個交點為A，且線段AB的中點E在直線y=x上．
（1）求直線AB的方程；
（2）若點P為橢圓C上異于A，B的任意一點，直線AP，BP分別交直線y=x于點M，N，直線BM交橢圓C于另外一點Q．
①證明：OM•ON為定值；
②證明：A、Q、N三點共線．

7．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，點B坐標為（0，-1），過點B的直線與橢圓C另外一個交點為A，且線段AB的中點E在直線y=x上
（Ⅰ）求直線AB的方程
（Ⅱ）若點P為橢圓C上異于A，B的任意一點，直線AP，BP分別交直線y=x于點M，N，證明：OM•ON為定值．

6．已知曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=2-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
（1）以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，寫出直線l的極坐標方程和曲線C的參數(shù)方程；
（2）過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．

5．已知橢圓Γ：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點F₂的坐標為（c，0），若b=c，且點（c，l）在橢圓Γ上．
（I）求橢圓Γ的標準方程；
（Ⅱ）當k≠0時，若直線l₁：y=k（x+$\sqrt{2}$），l₂：y=-$\frac{1}{k}$（x+$\sqrt{2}$）與橢圓Γ的交點分別為A，B和C，D，記四邊形ACBD的面積為S₁．
①求S₁關于k的表達式；
②若直線l₃：$\sqrt{2}$kx-y+k=0，l₄：$\sqrt{2}$x+ky+1=0與圓E：x²+y²=1的交點分別為M，N和P，Q，記四邊形MNPQ的面積為S₂，試判斷$\frac{S_1}{S_2}$是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明．

4．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點分別是F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），直線l：x=my-c與橢圓C交于點M，N兩點，當m=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，M是橢圓C的頂點，且△MF₁F₂的周長為6．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若M，F(xiàn)₂，N在直線x=4上的射影分別為E，K，D，連接MD，當m變化時，證明直線MD與NE相交于一定點，并求出該定點的坐標；
（3）設橢圓C的左頂點為A，直線AM，AN與直線x=4分別相交于點P，Q，試問：當m變化時，以線段PQ為直徑的圓被x軸截得的弦長是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，請說明理由．

3．橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁、F₂，離心率為$\frac{1}{2}$，過點F₁的直線l交橢圓于A、B兩點，△AF₂B的周長為8．
（1）求橢圓方程．
（2）若橢圓的左、右頂點為C、D，四邊形ABCD的面積為$\frac{{24\sqrt{2}}}{7}$，求直線l的方程．