Question

3．橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁、F₂，離心率為$\frac{1}{2}$，過點F₁的直線l交橢圓于A、B兩點，△AF₂B的周長為8．
（1）求橢圓方程．
（2）若橢圓的左、右頂點為C、D，四邊形ABCD的面積為$\frac{{24\sqrt{2}}}{7}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意結(jié)合橢圓定義求得a，再由橢圓離心率求得c，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得A，B兩點縱坐標(biāo)差的絕對值，由四邊形ABCD的面積列式求得直線的斜率，則直線l的方程可求．

解答 解：（1）∵|AF₁|+|AF₂|=2a，|BF₁|+|BF₂|=2a，
∴|AF₂|+|BF₂|+|AB|=4a，即4a=8，則a=2．
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴c=1，則b²=a²-c²=3．
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1；
（2）設(shè)直線l的方程為x=ky-1，
代入橢圓方程并化簡得（3k²+4）y²-6ky-9=0，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{6k}{3{k}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{3{k}^{2}+4}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{6k}{3{k}^{2}+4}）^{2}+\frac{36}{3{k}^{2}4}}$=$\frac{{\sqrt{36{k^2}+36（{3{k^2}+4}）}}}{{3{k^2}+4}}=\frac{{12\sqrt{{k^2}+1}}}{{3{k^2}+4}}$．
∵S_ACBD=$\frac{1}{2}$•|CD|•|y₁-y₂|=2|y₁-y₂|=$\frac{{24\sqrt{2}}}{7}$，
∴$\frac{{576（{k^2}+1）}}{{{{（3{k^2}+4）}^2}}}$=$\frac{576•2}{49}$，解得k=±1．
∴直線l的方程為x±y+1=0．

點評 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，靈活運用韋達(dá)定理解題是解決該題的關(guān)鍵，是中檔題．