設(shè)函數(shù)f（x）=alnx，g(x)=

1

2

x2．
（1）記h（x）=f（x）-g（x），若a=4，求h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）記g'（x）為g（x）的導函數(shù)，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x-g（x）在x∈[1，e]上有解，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若在[1，e]上存在一點x₀，使得f(x0)-f′(x0)＞g′(x0)+

1

g′(x0)

成立，求a的取值范圍．

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上任意一點到兩焦點距離之和為2

3

，離心率為

3

3

，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P是右準線上任意一點，過F₂作直線PF₂的垂線F₂Q交橢圓于Q點．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值；
（3）證明：直線PQ與橢圓E只有一個公共點．

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上任意一點到兩焦點距離之和為2

3

，離心率為

3

3

，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P是右準線上任意一點，過F₂作直線PF₂的垂線F₂Q交橢圓于Q點．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值；
（3）點P的縱坐標為3，過P作動直線l與橢圓交于兩個不同點M、N，在線段MN上取點H，滿足

MP

PN

=

MH

HN

，試證明點H恒在一定直線上．

為改善行人過馬路難的問題，市政府決定在如圖所示的矩形區(qū)域ABCD（AB=60米，AD=104米）內(nèi)修建一座過街天橋，天橋的高GM與HN均為4

3

米，∠GEM=∠HFN=

π

6

，AE，EG，HF，F(xiàn)C的造價均為每米1萬元，GH的造價為每米2萬元，設(shè)MN與AB所成的角為α（α∈[0，

π

4

]），天橋的總造價（由AE，EG，GH，HF，F(xiàn)C五段構(gòu)成，GM與HN忽略不計）為W萬元．
（1）試用α表示GH的長；
（2）求W關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求W的最小值及相應的角α．

已知fn(x)=(1+

x

)n，n∈N^*．
（1）若g（x）=f₄（x）+2f₅（x）+3f₆（x），求g（x）中含x²項的系數(shù)；
（2）若p_n是f_n（x）展開式中所有無理項的系數(shù)和，數(shù)列{a_n}是各項都大于1的數(shù)組成的數(shù)列，試用數(shù)學歸納法證明：p_n（a₁a₂…a_n+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）．

由于生產(chǎn)條件的影響，生產(chǎn)某種產(chǎn)品正品的概率為

7

8

，次品的概率分別為

1

8

．已知生產(chǎn)1件正品獲得的利潤為6萬元，而生產(chǎn)1件次品則虧損2萬元．
（1）求生產(chǎn)3件產(chǎn)品恰有2件正品的概率；
（2）設(shè)2件產(chǎn)品的利潤和（單位：萬元）為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為A₁B₁，CD的中點．
（1）求直線EC與AF所成角的余弦值；
（2）求二面角E-AF-B的余弦值．