在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下頂點(diǎn)為S，T點(diǎn)E在橢圓上且異于S，T兩點(diǎn)，直線SE與TE的斜率之積為-4O為坐標(biāo)原點(diǎn)
（1）求橢圓的離心率；
（2）若橢圓以F₁（0，-

3

）和F₂（0，

3

）為焦點(diǎn)，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，且向量

OM

=

OA

+

OB

求：點(diǎn)M的軌跡方程及|OM|的最小值．

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+na_n=n，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）設(shè)b_n=

pn-1

an

（p為非零常數(shù)），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

已知AC、BD為圓O：x²+y²=9的兩條相互垂直的弦，垂足為M(1，

3

)，則四邊形ABCD的面積的最大值為．

設(shè)平面點(diǎn)集A={（x，y）|（y-x）（y-

1

x

）≥0}，B={（x，y）|（x-2）²+（y-2）²≤4}，則 A∩B所表示的平面圖形的面積是（　�。�

數(shù)列{a_n}中，a₁=2，

an+1

n+1

=

an

n

+

2

n(n+1)

（n∈N^*），則a₁₀=（　�。�

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x，數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

1

2

，ln2+lna_n+1=a_n+1a_n+f（a_n+1a_n）
（1）求證：ln（1+x）≤x：
（2）求證：數(shù)列{

1

an-1

}是等差數(shù)列；
（3）求證：a₁+a₂+…+a_n＜n+ln2-ln（n+2）

已知a∈R，函數(shù)f(x)=

a

x

+lnx-1，g（x）=（lnx-1）e^x+x（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）討論函數(shù)f（x）在（0，e]上的單調(diào)性；
（2）是否存在實(shí)數(shù)x₀∈（0，+∞），使曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x₀處的切線與y軸垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）若實(shí)數(shù)m，n滿足m＞0，n＞0，求證：nⁿe^m≥mⁿeⁿ．

在△ABC中，角A，B，c的對(duì)邊分別是a、b、c，已知向量

m

=（cosA，cos B），

n

=（a，2c-b），且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）若a=4，求△ABC面積的最大值．