選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上．離心率為

1

2

，點(diǎn)P（x，y）是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若2x+

3

y的最大值為10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（選做題）
已知a，b是實(shí)數(shù)，如果矩陣M=

.

2 a b 1

.

所對(duì)應(yīng)的變換將直線x-y=1變換成x+2y=1，求a，b的值．

選修4-1：幾何證明選講
自圓O外一點(diǎn)P引圓的一條切線PA，切點(diǎn)為A，M為PA的中點(diǎn)，過點(diǎn)M引圓O的割線交該圓于B、C兩點(diǎn)，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．

已知函數(shù)f（x）=

1+ln(x+1)

x

（x＞0）．
（1）試判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
（2）若f（x）＞

k

x+1

恒成立，求整數(shù)k的最大值；
（3）求證：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞e^2n-3．

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，且a_n+2=（1+2|cos

nπ

2

|）a_n+|sin

nπ

2

|，n∈N^*．
（1）證明：數(shù)列{a_2n}（n∈N^*}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)b_k=a_2k+（-1）^k-1λ•2 a2k-1（λ為非零整數(shù)），試確定λ的值，使得對(duì)任意k∈N^*都有b_k+1＞b_k成立．

如圖：某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池（ABCD）的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（Rt△FHE，H是直角頂點(diǎn)）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好．設(shè)計(jì)要求管道的接口H是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10

3

米，記∠BHE=θ．
（1）試將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數(shù)，并寫出定義域；
（2）問：當(dāng)θ取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的長度．

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知

m

=(2cosA，

3

sinA)，

n

=(cosA，-2cosA)，

m

•

n

=-1．
（1）若a=2

3

，c=2，求△ABC的面積；
（2）求

b-2c

acos(60°+C)

的值．

已知函數(shù)f（x）=|x-2012|+…+|x-2|+|x-1|+|x+1|+|x+2|+…+|x+2012|（x∈R），且f（a²+2a+2）＞f（a），則滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是．