已知常數(shù)a、b都是正整數(shù)，函數(shù)f(x)=

x

bx+1

（x＞0），數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，

1

an+1

=f(

1

an

)（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a=8b，且等比數(shù)列{b_n}同時(shí)滿足：①b₁=a₁，b₂=a₅；②數(shù)列{b_n}的每一項(xiàng)都是數(shù)列{a_n}中的某一項(xiàng)．試判斷數(shù)列{b_n}是有窮數(shù)列或是無窮數(shù)列，并簡(jiǎn)要說明理由；
（3）對(duì)問題（2）繼續(xù)探究，若b₂=a_m（m＞1，m是常數(shù)），當(dāng)m取何正整數(shù)時(shí)，數(shù)列{b_n}是有窮數(shù)列；當(dāng)m取何正整數(shù)時(shí)，數(shù)列{b_n}是無窮數(shù)列，并說明理由．

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=12n-n²，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

在等差數(shù)列{a_n}中，a₂=3，a₉=17，求a₁₉+a₂₀+a₂₁的值．

已知四個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，前三個(gè)數(shù)的和為15，第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的乘積為27，求這四個(gè)數(shù)．

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

5

2

，且a_n=

4an-1-1

an-1+2

（n≥2，n∈N^*）．
（1）設(shè)b_n=

1

an-1

，證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}、{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)c_n=a_n•a_n+1，S_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，證明S_n＜n+6（1+lnn）．

運(yùn)行如圖所示的程序框圖，將輸出的a依次記作a₁，a₂，…，a_n；輸出的b依次記作b₁，b₂，…b_n；輸出的S依次記作S₁，S₂，…，S_n．（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求

bn+1

an+1

-

1+bn

an

(n∈N*，n≤2014)的值
（3）求證：(1+b1)(1+b2)…(1+bn)＜

10

3

b1b2…bn(n∈N*，n≤2014)．

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n} 中，a₁=2，log₂a_n+1•（log₂a_n+3）=3log₂a_n（n∈N^*），
（1）求數(shù)列{ a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=

n

an

 （n∈N^*），求數(shù)列{ b_n}的前n項(xiàng)積T_n的值．

已知二次函數(shù)f（x）=x²+ax+c，滿足不等式f（x）＜0的解集是（-2，0），
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）的圖象上，且a₁=99，令b_n=lg（1+a_n），
①求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
②令c_n=nb_n，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，是否存在正實(shí)數(shù)k使得不等式kn²b_n＞S_n+b_n+2-2對(duì)任意n∈N^*的恒成立？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，滿足a₁=1，a

2 n+1

-a

2 n

=2（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

an2

2n

}的前n項(xiàng)和S_n．