Question

14．如圖所示，傾角為45°的粗糙斜面AB底端與半徑R=0.4m的光滑半圓軌道BC平滑相接，O為軌道圓心，BC為圓軌道直徑且處于豎直平面內(nèi)，A、C兩點等高．質(zhì)量m=1kg的滑塊（可視為質(zhì)點）從A點由靜止開始下滑，恰能滑到與O等高的D點，g取10m/s²．
（1）若使滑塊能到達C點，求滑塊至少從離地多高處由靜止開始下滑；
（2）若滑塊離開C處后恰能垂直打在斜面上，求滑塊經(jīng)過C點時對軌道的壓力；
（3）若使滑塊在圓弧在BDC段不脫離軌道，則A下滑的高度應該滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）從A到D的過程中根據(jù)動能定理求得摩擦因數(shù)，物體能到達C點，根據(jù)牛頓第二定律求得C點的速度，根據(jù)動能定理求得高度
（2）小球從C點做平拋運動，根據(jù)平拋運動的特點，求得C點的速度，根據(jù)牛頓第二定律求得對軌道的壓力；
（3）物體不脫離軌道，即在軌道上能通過最高點和剛好到達D點即可

解答 解：（1）由A到D，根據(jù)動能定理可得    
mg（2R-R）-μmgcos45°$\frac{2R}{{sin{{45}°}}}$=0 
解得μ=0.5
若滑塊恰能到達C點，$mg=\frac{{mv}_{C}^{2}}{R}$
得${v}_{C}=\sqrt{gR}=2m/s$
從高為H的最高點到C的過程，
根據(jù)動能定理 mg（H-2R）-μmgcos45°$\frac{H}{{sin{{45}°}}}$=$\frac{1}{2}mv_c^2$
解得H=2m  

（2）離開C點后滑塊做平拋運動，垂直打到斜面上時有
x=v_Ct
 $y=\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{{v}_{y}}{2}t$
$tan45°=\frac{{v}_{C}}{{v}_{y}}$
  $tan45°=\frac{2R-y}{x}$
解得 ${v}_{c}=\frac{4\sqrt{3}}{3}m/s$
在C點，根據(jù)牛頓第二定律有  $mg+{F}_{N}=\frac{{mv}_{C}^{2}}{R}$
求得：F_N=3.3N
由牛頓第三定律可知，滑塊對軌道的壓力為F′_N=F_N=3.3N
方向豎直向上
（3）由題意可知，滑塊從A處，即距地面高度為2R=0.8m處下滑恰好到達D點，所以，若使滑塊在圓弧在BDC段不脫離軌道，則A下滑的高度h≥2m或h≤0.8m
答：（1）若使滑塊能到達C點，滑塊至少從離地2m高處由靜止開始下滑；
（2）若滑塊離開C處后恰能垂直打在斜面上，滑塊經(jīng)過C點時對軌道的壓力為3.3N；
（3）若使滑塊在圓弧在BDC段不脫離軌道，則A下滑的高度應該滿足h≥2m或h≤0.8m

點評 本題是動能定理與向心力、平拋運動及幾何知識的綜合，關(guān)鍵要注意挖掘隱含的臨界條件，知道小球通過豎直平面圓軌道最高點時，重力恰好提供向心力，對于平拋運動，要結(jié)合幾何知識進行求解