Question

2．如圖所示，在第一四象限虛線EF左側(cè)存在垂直紙面外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，EF距離x軸的距離為l，在y軸左側(cè)存在與x軸成45°的傾斜向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，不計(jì)重力的帶電粒子在第三象限的（-$\sqrt{2}$t，-$\sqrt{2}$l）點(diǎn)釋放，粒子的質(zhì)量為m，帶電量為q，則：
（1）若粒子自電場(chǎng)第一次進(jìn)入磁場(chǎng)即垂直EF射出，求電場(chǎng)強(qiáng)度E；
（2）若粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)恰沒(méi)有從EF射出，求粒子第二次通過(guò)y軸的坐標(biāo)及速度的大��；
（3）若粒子運(yùn)動(dòng)情況如（2）所述，求粒子第三次經(jīng)過(guò)y軸時(shí)的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡半徑，得到速度，研究粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過(guò)程，由動(dòng)能定理求解E．
（2）若粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)恰沒(méi)有從EF射出，基軌跡恰好與EF相切，畫(huà)出軌跡，由幾何關(guān)系求出粒子第二次通過(guò)y軸的坐標(biāo)和軌跡半徑，從而求出速度．
（3）粒子再次進(jìn)入電場(chǎng)中作類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，沿電場(chǎng)方向和垂直于電場(chǎng)方向分解，由兩個(gè)方向分位移相等，列式求出時(shí)間，再求解速度．

解答 解：（1）作出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖1所示，由幾何關(guān)系得知粒子的軌跡半徑為：r₁=l
根據(jù)qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，得：v₁=$\frac{qBl}{m}$
粒子在電場(chǎng)中做勻加速過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
qE•2l=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：E=$\frac{q{B}^{2}l}{4m}$
（2）若粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)恰沒(méi)有從EF射出，軌跡如圖2所示．設(shè)軌跡半徑為 r₂．
由幾何知識(shí)有，r₂+r₂cos45°=l，
解得：r₂=（2-$\sqrt{2}$）l
粒子第二次通過(guò)y軸的坐標(biāo)為 y=-$\sqrt{2}$r₂=$\sqrt{2}$（2-$\sqrt{2}$）l=-2（$\sqrt{2}$-1）l
由r₂=$\frac{m{v}_{2}}{qB}$得 v₂=$\frac{2（\sqrt{2}-1）qBl}{m}$
（3）設(shè)粒子再次垂直進(jìn)入電場(chǎng)后在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．則沿電場(chǎng)方向有：
  y=$\frac{{v}_{y}t}{2}$
垂直于電場(chǎng)方向有：x=v₂t
由于x=y，則得 v_y=2v₂
故粒子第三次經(jīng)過(guò)y軸時(shí)的速度大小為：v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{5}{v}_{2}$=$\frac{2（\sqrt{10}-\sqrt{5}）qBl}{m}$
答：（1）若粒子自電場(chǎng)第一次進(jìn)入磁場(chǎng)即垂直EF射出，電場(chǎng)強(qiáng)度E為 $\frac{q{B}^{2}l}{4m}$；
（2）若粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)恰沒(méi)有從EF射出，粒子第二次通過(guò)y軸的坐標(biāo)為-2（$\sqrt{2}$-1）l，速度的大小為$\frac{2（\sqrt{2}-1）qBl}{m}$；
（3）若粒子運(yùn)動(dòng)情況如（2）所述，粒子第三次經(jīng)過(guò)y軸時(shí)的速度大小為$\frac{2（\sqrt{10}-\sqrt{5}）qBl}{m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，要注意在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)要注意幾何關(guān)系的應(yīng)用，在電場(chǎng)中注意由類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解．