Question

如圖，豎直放置的斜面AB的下端與光滑的圓弧軌道BCD的B端相切，圓弧半徑為R，圓心與A、D在同一水平面上，∠COB=θ，現(xiàn)有一個質(zhì)量為m的小物體從斜面上的A點無初速滑下，已知小物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ，求：

（1）小物體在斜面上能夠通過的路程；

（2）小物體通過C點時，對C點的最大壓力和最小壓力．

Answer 1

考點：

動能定理；向心力．專題：動能定理的應(yīng)用專題．

分析：

（1）由幾何知識得知，斜面的傾角等于θ．物體從A點無初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，物體在斜面上運動時機械能不斷減小，到達的最大高度越來越小，最終在BE圓弧上來回運動，到達B點的速度為零．物體在斜面上運動時摩擦力大小為μmgcosθ，總是做負功，滑動摩擦力做的總功與總路程成正比，根據(jù)動能定理求解總路程．

（2）當(dāng)物體第一次經(jīng)過C點時，速度最大，對C點的壓力最大，當(dāng)最后穩(wěn)定后，物體在BE之間運動時，經(jīng)過C點時速度最小，物體對C點的壓力最小，根據(jù)動能定理求出最大速度和最小速度，再由牛頓運動定律求解最大壓力和最小壓力．

解答：

解：（1）如圖，小物體最終將在以過圓心的半徑兩側(cè)θ 范圍內(nèi)即圖中EB范圍內(nèi)運動，對物體從A到B（或E）的整個過程，運用動能定理得

mgRcosθ﹣fs=0

又 f=μmgcosθ

解得：S=

（2）小物體第一次到達最低點時對C點的壓力最大；根據(jù)牛頓第二定律得：N_max﹣mg=m

由動能定理得：mgR﹣μmgcosθ?=

式中

解得：N_max=mg（3﹣2?cosθctgθ）

當(dāng)小物體最后在BCD′（D′在C點左側(cè)與B等高）圓弧上運動時，通過C點時對軌道壓力最�。畡t有：N_min﹣mg=m

mgR（1﹣cosθ）=mv′²

解得：N_min=mg （3﹣2cosθ）．

答：

（1）小物體在斜面上滑行的總路程是；

（2）物體對C點的最大壓力為3mg﹣2μmgcosθcotθ，最小壓力為3mg﹣2mgcosθ．

點評：

本題是動能定理與牛頓運動定律的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是分析物體的運動過程，抓住滑動摩擦力做功與路程有關(guān)這一特點．