Question

19．甲、乙兩物體置于同一水平面上，甲在乙的左方，它們在同一直線上朝右方做勻減速直線運(yùn)動．開始時，甲的速度大小為v₁，加速度大小為a₁，乙的速度大小為v₂，加速度大小為a₂，并且v₁＞v₂，若要保證甲、乙不發(fā)生碰撞，那么開始時甲、乙間的距離s至少是多少？

Answer 1

分析 兩物體均做減速運(yùn)動，由于時間不明確，故應(yīng)假設(shè)兩物體間的速度與加速度關(guān)系，明確時間關(guān)系后，再根據(jù)位移和時間關(guān)系進(jìn)行分析即可求得兩物體間的最小距離．

解答 解：（1）若$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$$≤\frac{{v}_{2}}{{a}_{2}}$，那么甲的運(yùn)動時間不長于乙的運(yùn)動時間，設(shè)經(jīng)歷的時間為t，兩物體速度相同，即：
v₁-a₁t=v₂-a₂t
解得：t=$\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{{a}_{1}-{a}_{2}}$
X=v₁t-$\frac{1}{2}$a₁t²-[v₂t-$\frac{1}{2}$a₂t²]=$\frac{（{v}_{1}-{v}_{2}）^{2}}{2（{a}_{1}-{a}_{2}）}$
（2）若$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$≥$\frac{{v}_{2}}{{a}_{2}}$，那么乙比甲先停止運(yùn)動，設(shè)經(jīng)歷t₁的時間甲速度變?yōu)?，經(jīng)過t₂時間，乙速度變?yōu)榱悖�顯然t₁＞t₂
v₁-a₁t₁=0
v₂-a₂t₂=0
則X=（v₁t₁-$\frac{1}{2}$a₁t₁²）-（v₂t₂-$\frac{1}{2}$a₂t₂²）
解得：X=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{1}}$-$\frac{{v}_{2}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{{v}_{1}^{2}{a}_{2}-{v}_{2}^{2}{a}_{1}}{2{a}_{1}{a}_{2}}$
答：保證甲、乙不發(fā)生碰撞，那么開始時甲、乙間的距離s應(yīng)滿足：若$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$$≤\frac{{v}_{2}}{{a}_{2}}$，則最小為$\frac{（{v}_{1}-{v}_{2}）^{2}}{2（{a}_{1}-{a}_{2}）}$；若$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$≥$\frac{{v}_{2}}{{a}_{2}}$最小值為$\frac{{v}_{1}^{2}{a}_{2}-{v}_{2}^{2}{a}_{1}}{2{a}_{1}{a}_{2}}$．

點(diǎn)評 本題考查追及相遇問題的分析，要注意明確兩物體間的加速度和速度關(guān)系的不唯一造成兩物體存在多種可能性，故應(yīng)分情況討論后再分析求解．