Question

15．在一個(gè)星球上，宇航員為了估測星球的平均密度，設(shè)計(jì)了-個(gè)簡單的實(shí)驗(yàn)：他先利用手表記下一晝夜的時(shí)間T；然后，用彈簧測力計(jì)測-個(gè)砝碼的重力，發(fā)現(xiàn)在赤道上的重力為兩極的90%．試寫出估算該星球平均密度的表達(dá)式．（引力常量為G）

Answer 1

分析 砝碼在赤道上失重10%，表明在赤道上隨星球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為F=0.1mg．一晝夜的時(shí)間T就是星球的自轉(zhuǎn)周期，根據(jù)萬有引力等于重力求解．

解答 解：
設(shè)星球的質(zhì)量為M，半徑為R，表面重力加速度為g′，平均密度為ρ，砝碼的質(zhì)量為m．
砝碼在赤道上失重10%，表明在赤道上隨星球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為F=0.1mg．
而一晝夜的時(shí)間T就是星球的自轉(zhuǎn)周期，根據(jù)牛頓第二定律，$0.1mg=mR（\frac{2π}{T}）^{2}$，
根據(jù)萬有引力定律，星球表面的重力加速度為$g′=G\frac{M}{{R}^{2}}=\frac{4GπρR}{3}$，
所以，星球平均密度的估算式ρ=$\frac{30π}{G{T}^{2}}$．
答：該星球平均密度的表達(dá)式ρ=$\frac{30π}{G{T}^{2}}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力等于重力這一重要理論，并能靈活運(yùn)用，對于GM=gR²由于運(yùn)用比較廣泛，稱為“黃金代換式”．