Question

（2005?北京）

AB

是豎直平面內(nèi)的四分之一圓弧軌道，在下端B與水平直軌道相切，如圖所示．一小球自A點起由靜止開始沿軌道下滑．已知圓軌道半徑為R，小球的質(zhì)量為m，不計各處摩擦．求
（1）小球運動到B點時的動能
（2）小球下滑到距水平軌道的高度為

1

2

R時的速度大小和方向
（3）小球經(jīng)過圓弧軌道的B點和水平軌道的C點時，所受軌道支持力N_B、N_C各是多大？

Answer 1

分析：（1）整個過程中，機械能守恒，可以求得小球運動到B點時的動能；
（2）在根據(jù)機械能守恒可以求得小球下滑到距水平軌道的高度為

1

2

R時的速度大小和方向；
（3）對小球受力分析，由牛頓第二定律可以求得支持力的大小．

解答：解：（1）從A到B的過程中，機械能守恒  
所以 E_k=mgR．
（2）根據(jù)機械能守恒△E_k=△E_p

1

2

mv²=

1

2

mgR
所以小球速度大小　v=

gR

，
速度方向沿圓弧的切線向下，
小球距水平軌道的高度為

1

2

R，由三角形的關(guān)系可知，小球與豎直方向的夾角為30°．
（3）根據(jù)牛頓運動定律及機械能守恒，在B點
N_B-mg=m

V 2 B

R

，
mgR=

1

2

mv_B²
解得  N_B=3mg
在C點時，小球受力平衡，所以 N_C=mg．
答：（1）小球運動到B點時的動能為mgR．
（2）小球下滑到距水平軌道的高度為

1

2

R時的速度大小為

gR

，方向為沿圓弧的切線向下，與豎直方向成30°．
（3）所受軌道支持力N_B為3mg，N_C為mg．

點評：直接利用機械能守恒可以求得本題的結(jié)論，小球在B點時是圓周運動的一部分，在此時物體的運動需要向心力．