Question

10．如圖所示，在y軸右側(cè)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，y軸左側(cè)有圓形邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其圓心為x軸上的P點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里．兩磁場(chǎng)的邊界相切于 O點(diǎn)．現(xiàn)一質(zhì)量為m，帶電量為+q的粒子從A點(diǎn)以速度v沿著x軸正方向射入磁場(chǎng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后射離圓形邊界的磁場(chǎng)，其速度方向偏離原來(lái)方向的夾角為60°．再經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，粒子回到A點(diǎn)，且沿著x軸負(fù)方向射出．求：
（1）圓形邊界磁場(chǎng)的半徑；
（2）粒子從A點(diǎn)出發(fā)又回到A點(diǎn)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由題意畫出運(yùn)動(dòng)軌跡圖，并由幾何關(guān)系來(lái)確定兩段圓弧的圓心角及各線段長(zhǎng)；由切點(diǎn)處作出兩圓半徑關(guān)系，并求解；
（2）寫出周期公式，尋找每次旋轉(zhuǎn)后角度變化規(guī)律來(lái)來(lái)計(jì)算各段時(shí)間，然后求出求總時(shí)間；

解答 解：（1）根據(jù)題意，帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示

帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
 得：R=$\frac{mv}{qB}$
由圖圓形磁場(chǎng)的半徑：r=Rtan30°=$\frac{\sqrt{3}mv}{3qB}$
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$
由題可知粒子從A到B偏轉(zhuǎn)的角度是60°，所以運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{1}=\frac{60°}{360°}•T$=$\frac{1}{6}T$=$\frac{πm}{3qB}$
粒子從B-C做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：${t}_{2}=\frac{r-rcos60°}{vcos60°}$=$\frac{m}{3qB}$
粒子從C-D做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：${t}_{3}=\frac{300°}{360°}•T=\frac{5}{6}T=\frac{5πm}{3qB}$
所以粒子從A點(diǎn)出發(fā)又回到A點(diǎn)的時(shí)間：t=$2{t}_{1}+2{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{m}{3qB}（7π+2\sqrt{3}）$
答：（1）圓形邊界磁場(chǎng)的半徑是$\frac{\sqrt{3}mv}{3qB}$；
（2）粒子從A點(diǎn)出發(fā)又回到A點(diǎn)的時(shí)間$\frac{m}{3qB}（7π+2\sqrt{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，難度較大，過(guò)程復(fù)雜，關(guān)鍵在于用運(yùn)動(dòng)軌跡圖來(lái)尋找?guī)缀侮P(guān)系，確定長(zhǎng)度及角度，將復(fù)雜運(yùn)動(dòng)形成規(guī)律進(jìn)行簡(jiǎn)化解決．