Question

12．如圖所示，導熱性能良好的氣缸A和B豎直放置，它們的底部由一細管連通（忽略細管的容積）．兩氣缸內(nèi)各有一個活塞，質(zhì)量分別為m_A=3m和m_B=m，活塞與氣缸之間無摩擦，活塞的下方為理想氣體，上方為真空．當氣體處于平衡狀態(tài)時，兩活塞位的高度均為h．若在兩個活塞上同時分別放一質(zhì)量為2m的物塊，保持溫度不變，系統(tǒng)再次達到平衡后，給氣體緩緩加熱，使氣體的溫度由T₀緩慢上升到T（氣體狀態(tài)變化過程中，物塊及活塞沒碰到氣缸頂部）．求
（1）兩個活塞的橫截面積之比S_A：S_B
（2）在加熱氣體的過程中，氣體對活塞所做的功．

Answer 1

分析 （1）開始時兩缸內(nèi)的氣壓相等，從而可得出兩活塞的面積關系，
（2）兩活塞上同時各加一質(zhì)量為m的物塊后，就打破了原有的平衡，面積小的活塞會下沉，直至面積小的活塞移到底部，再確定左側(cè)氣體的狀態(tài)參量，整個過程是等溫變化，由氣體的狀態(tài)方程可得出左缸氣體的高度．加熱的過程中氣體的壓強不變，溫度升高，由氣態(tài)方程求出末狀態(tài)的體積，最后由W=FS即可求出功．

解答 解：（1）設左、右活塞的面積分別為A′和A，由于氣體處于平衡狀態(tài)，故兩活塞對氣體的壓強相等，即：$\frac{3mg}{A′}=\frac{mg}{A}$
由此得到：A′=3A
（2）在兩個活塞上各加一質(zhì)量為2m物塊后，右活塞B降至氣缸底部，所有氣體都在左氣缸中．
在初態(tài)：氣體的壓強為$\frac{mg}{A}$，體積為V₁=A•h+3A•h=4Ah；
在增加物體后：氣體壓強為P₂=$\frac{3mg+2mg}{3A}=\frac{5mg}{3A}$，體積為V₂=3Ax （x為左活塞的高度）
由玻意耳-馬略特定律得：$\frac{mg}{A}•4Ah=\frac{5mg}{3A}•{V}_{2}$
解得：x=$\frac{4}{5}$h
加熱的過程中氣體的壓強不變，溫度升高，由氣態(tài)方程得：$\frac{{V}_{2}}{{T}_{0}}=\frac{{V}_{3}}{T}$
所以：${V}_{3}=\frac{T}{{T}_{0}}•{V}_{2}$
溫度升高的過程中氣體對活塞做功：W=P₂A′•△h=P₂△V=P₂（V₃-V₂）=${P}_{2}•（\frac{T}{{T}_{0}}-1）{V}_{2}=\frac{5mg}{3A}•（\frac{T}{{T}_{0}}-1）×3A×\frac{4}{5}h=4mgh（\frac{T}{{T}_{0}}-1）$
答：（1）兩個活塞的橫截面積之比是3：1；
（2）在加熱氣體的過程中，氣體對活塞所做的功是$4mgh（\frac{T}{{T}_{0}}-1）$．

點評 解答該題要注意兩個方面，一是根據(jù)平衡求解兩活塞的面積的關系，二是當兩活塞上放上相同質(zhì)量的物體后，要會判斷出面積小的活塞下移，直至移到底部，這是解決此題的關鍵．