Question

15．如圖甲所示，在平行邊界MN、PQ之間存在寬度為L(zhǎng)的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)周期性變化的規(guī)律如圖乙所示，取豎直向下為電場(chǎng)正方向；在平行邊界MN、EF之間存在寬度為s、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ，在PQ右側(cè)有寬度足夠大、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ．在區(qū)域Ⅰ中距PQ距離為L(zhǎng)的A點(diǎn)，有一質(zhì)量為m、電荷量為q、重力不計(jì)的帶正電粒子以初速度v₀沿豎直向上方向開始運(yùn)動(dòng)，以此作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，再經(jīng)過一段時(shí)間粒子又恰好回到A點(diǎn)，如此循環(huán)，粒子循環(huán)運(yùn)動(dòng)一周，電場(chǎng)恰好變化一個(gè)周期，已知粒子離開區(qū)域Ⅰ進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，速度恰好與電場(chǎng)方向垂直，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6．

（1）求區(qū)域Ⅰ的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₁．
（2）若E₀=$\frac{4m{{v}_{0}}^{2}}{3qL}$，要實(shí)現(xiàn)上述循環(huán)，確定區(qū)域Ⅱ的磁場(chǎng)寬度s的最小值以及磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₂．
（3）若E₀=$\frac{4m{{v}_{0}}^{2}}{3qL}$，要實(shí)現(xiàn)上述循環(huán)，求電場(chǎng)的變化周期T．

Answer 1

分析 （1）粒子在區(qū)域Ⅰ做圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，結(jié)合幾何關(guān)系得到軌道半徑，再根據(jù)牛頓第二定律列式求解磁感應(yīng)強(qiáng)度大��；
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式列式求解進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大小和方向，根據(jù)牛頓第二定律對(duì)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)過程列式，同時(shí)要結(jié)合幾何關(guān)系分析；
（3）電場(chǎng)的變化周期恰好等于粒子循環(huán)一周的時(shí)間，對(duì)粒子的圓周運(yùn)動(dòng)過程和類平拋運(yùn)動(dòng)過程分別求解時(shí)間后求和即可．

解答 解：（1）粒子在區(qū)域Ⅰ做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=L，由洛倫茲力提供向心力知：qv₀B₁=$m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
聯(lián)立解得：B₁=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$；
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，離開電場(chǎng)時(shí)沿電場(chǎng)方向的速度，有：
v_y=at=$\frac{{q{E_0}}}{m}$•$\frac{L}{{v}_{0}}$=$\frac{4}{3}$v₀，
離開電場(chǎng)時(shí)速度的偏轉(zhuǎn)角為θ，tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{4}{3}$，θ=53°，
所以粒子離開電場(chǎng)時(shí)的速度為：v=$\frac{{v}_{0}}{cos53°}$=$\frac{5}{3}$v₀，
粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的距離為：y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$•$\frac{q{E}_{0}}{m}$（$\frac{L}{{v}_{0}}$）²=$\frac{2}{3}$L；
畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖如圖所示，粒子在區(qū)域Ⅱ做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心O₂與在區(qū)域Ⅰ做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心O₁的連線必須與邊界垂直才能完成上述運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系知粒子在區(qū)域Ⅱ做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：r=$\frac{{L-\frac{2}{3}L}}{cos53°}=\frac{5}{9}L$；

所以s≥r（1-sin53°）=$\frac{L}{9}$，
根據(jù)r=$\frac{mv}{q{B}_{2}}$解得：B₂=$\frac{3m{v}_{0}}{qL}$；
（3）電場(chǎng)變化的周期等于粒子運(yùn)動(dòng)的周期，
粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₁=$\frac{T_1}{2}=\frac{πm}{{q{B_1}}}=\frac{πL}{v_0}$，
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₂=$\frac{2L}{{v}_{0}}$，
粒子在區(qū)域Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₃=$\frac{37}{180}×\frac{2πr}{v}=\frac{37πL}{{270{v_0}}}$，
所以周期為：T=t₁+t₂+t₃=$\frac{307π+540}{{270{v_0}}}L$．
答：（1）區(qū)域Ⅰ的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₁為$\frac{m{v}_{0}}{qL}$；
（2）若E₀=$\frac{4m{{v}_{0}}^{2}}{3qL}$，要實(shí)現(xiàn)上述循環(huán)，區(qū)域Ⅱ的磁場(chǎng)寬度s的最小值為$\frac{L}{9}$，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₂為$\frac{3m{v}_{0}}{qL}$；
（3）若E₀=$\frac{4m{{v}_{0}}^{2}}{3qL}$，要實(shí)現(xiàn)上述循環(huán)，電場(chǎng)的變化周期T為$\frac{307π+540}{{270{v_0}}}L$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，關(guān)鍵是明確粒子在電場(chǎng)中是做類似平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)是做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)要注意電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的連接點(diǎn)的速度的大小和方向，還要畫出軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系分析．