Question

（2008?南通三模）如圖Ox、Oy、Oz為相互垂直的坐標(biāo)軸，Oy軸為豎直方向，整個空間存在豎直向下的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為+q的小球從坐標(biāo)原點O以速度v₀沿Ox軸正方向拋出（不計空氣阻力，重力加速度為g）．求：
（1）若在整個空間加一勻強電場E₁，使小球在xOz平面內(nèi)做勻速圓周運動，求場強E₁和小球運動的軌道半徑；
（2）若在整個空間加一勻強電場E₂，使小球沿Ox軸做勻速直線運動，求E₂的大小；
（3）若在整個空間加一沿y軸正方向的勻強電場，電場強度為

3mg

q

，求該小球從坐標(biāo)原點O拋出后，經(jīng)過y軸時的坐標(biāo)y和動能E_k．

Answer 1

分析：（1）若在整個空間加一勻強電場E₁，使小球在xOz平面內(nèi)做勻速圓周運動，重力與電場力平衡，由平衡條件求出場強．由牛頓第二定律求出半徑．
（2）若在整個空間加一勻強電場E₂，使小球沿Ox軸做勻速直線運動，重力、電場力和洛倫茲力的合力為零，根據(jù)平衡條件求出場強．
（3）若在整個空間加一沿y軸正方向的勻強電場，小球在復(fù)合場中做螺旋運動，運用分解法研究坐標(biāo)y和動能E_k．

解答：解：（1）由于小球在磁場中做勻速圓周運動，設(shè)軌道半徑為r，則
  qE₁=mg解得  E1=

mg

q

，方向沿y軸正向
又qvB=m

v 2 0

r

，解得  
r=

mv0

qB

（2）小球做勻速直線運動，受力平衡，則
 qE2=

(mg)2+(qv0B)2

解得  E2=

( mg q )2+ v 2 0 B2

（3）小球在復(fù)合場中做螺旋運動，可以分解成水平面內(nèi)的勻速圓周運動和沿y軸方向的勻加速直線運動．
做勻加速運動的加速度   a=

qE3-mg

m

=2g
從原點O到經(jīng)過y軸時經(jīng)歷的時間  
 t=nT
 y=

1

2

at2
解得  y=

4n2π2m2g

q2B2

（n=1、2、3…）
由動能定理得  (qE3-mg)y=Ek-

1

2

mv02
解得  Ek=

1

2

mv02+

8n2π2m3g2

q2B2

（n=1、2、3…）
答：
（1）若在整個空間加一勻強電場E₁，使小球在xOz平面內(nèi)做勻速圓周運動，場強 E1=

mg

q

，方向沿y軸正向．小球運動的軌道半徑r=

mv0

qB

．
（2）若在整個空間加一勻強電場E₂，使小球沿Ox軸做勻速直線運動，E₂的大小得 E2=

( mg q )2+ v 2 0 B2

；
（3）該小球從坐標(biāo)原點O拋出后，經(jīng)過y軸時的坐標(biāo)y=

4n2π2m2g

q2B2

（n=1、2、3…），動能為Ek=

1

2

mv02+

8n2π2m3g2

q2B2

（n=1、2、3…）．

點評：本題關(guān)鍵要掌握物體做勻速圓周運動的條件，分析受力情況是基礎(chǔ)．對于小球做螺旋運動，采用運動的分解法研究是常用方法．