Question

16．有一個(gè)半徑為R的光滑半球固定在水平面上，在半球頂端A點(diǎn)無初速釋放一個(gè)質(zhì)量為m的可視為質(zhì)點(diǎn)的光滑小球，小球先沿半球下滑一段距離后到達(dá)B點(diǎn)恰好離開半球面．已知重力加速度為g，求：
（1）小球落地時(shí)速度的大小為多少？
（2）B點(diǎn)與球心的連線和豎直線的夾角θ多大？（可用反三角函數(shù)表示）并求出小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為多少？

Answer 1

分析 （1）小球運(yùn)動(dòng)過程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)守恒定律列式求解落地速度；
（2）小球沿著光滑半球運(yùn)動(dòng)過程中，受重力和支持力，合力沿著半徑方向的分力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和動(dòng)能定理分別列式，恰好離開半球時(shí)，彈力為零．

解答 解：（1）小球從A點(diǎn)下落到達(dá)地面的過程中，由機(jī)械能守恒定律，有：
$mgR=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：
$v=\sqrt{2gR}$

（2）設(shè)小球下滑到B點(diǎn)，與豎直夾角為θ 時(shí)，剛好離開半球面，根據(jù)牛頓第二定律，有：
$mgcosθ-{N_B}=m\frac{{{v_B}^2}}{R}$
根據(jù)動(dòng)能定理，有：
 $mgR（{1-cosθ}）=\frac{1}{2}m{v_B}^2$
當(dāng) N_B=0時(shí)，得：
$cosθ=\frac{2}{3}$（$θ=arccos\frac{2}{3}$）
 ${v_B}=\sqrt{gRcosθ}=\sqrt{\frac{2gR}{3}}$
答：（1）小球落地時(shí)速度的大小為$\sqrt{2gR}$；
（2）B點(diǎn)與球心的連線和豎直線的夾角θ為$arccos\frac{2}{3}$，小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\sqrt{\frac{2gR}{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確小球的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，關(guān)鍵是找到向心力來源，結(jié)合機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理和牛頓第二定律列式求解，不難．