Question

19．如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤(pán)上，沿半徑方向放置兩個(gè)用細(xì)線(xiàn)相連的質(zhì)量均為m的小物體A、B，它們到轉(zhuǎn)軸的距離分別為r_A=20cm，r_B=30cm，A、B與盤(pán)間最大靜摩擦力均為重力的k=0.4倍，現(xiàn)極其緩慢的增加轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度，試求：（答案可用根號(hào)表示）
（1）當(dāng)細(xì)線(xiàn)上開(kāi)始出現(xiàn)張力時(shí)，圓盤(pán)的角速度ω₁；
（2）當(dāng)A開(kāi)始滑動(dòng)時(shí)，圓盤(pán)的角速度ω；
（3）當(dāng)A即將滑動(dòng)時(shí)，燒斷細(xì)線(xiàn)，A、B運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何？

Answer 1

分析 （1）抓住最大靜摩擦力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出細(xì)線(xiàn)出現(xiàn)張力時(shí)圓盤(pán)的角速度．
（2）當(dāng)A開(kāi)始滑動(dòng)時(shí)，B靠拉力和最大靜摩擦力提供向心力，A靠最大靜摩擦力和拉力的合力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律列式求解．
（3）根據(jù)靜摩擦力和向心力的關(guān)系判斷A、B的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．

解答 解：（1）當(dāng)細(xì)線(xiàn)上開(kāi)始出現(xiàn)張力時(shí)，B與圓盤(pán)之間的靜摩擦力達(dá)到最大值．
對(duì)B：$kmg=m{r}_{B}{{ω}_{1}}^{2}$，
即${ω}_{1}=\sqrt{\frac{kr}{{r}_{B}}}=\sqrt{\frac{0.4×10}{0.3}}rad/s=\frac{2}{3}\sqrt{30}$rad/s．
（2）當(dāng)A開(kāi)始滑動(dòng)時(shí)，A、B所受靜摩擦力均達(dá)最大，設(shè)此時(shí)細(xì)繩張力為T(mén)：
對(duì)B：$T+kmg=m{r}_{B}{ω}^{2}$，
對(duì)A：$kmg-T=m{r}_{A}{ω}^{2}$，
聯(lián)立解得：$ω=\sqrt{\frac{2kg}{{r}_{A}+{r}_{B}}}=\sqrt{\frac{2×0.4×10}{0.2+0.3}}=4rad/s$．
（3）燒斷細(xì)線(xiàn)時(shí)，繩的拉力消失，B所受靜摩擦力不足以提供所需向心力，故將遠(yuǎn)離圓心；對(duì)A，拉力消失后，靜摩擦力變小，提供所需向心力，故繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)
答：（1）當(dāng)細(xì)線(xiàn)上開(kāi)始出現(xiàn)張力時(shí)，圓盤(pán)的角速度為$\frac{2}{3}\sqrt{30}rad/s$；
（2）當(dāng)A開(kāi)始滑動(dòng)時(shí)，圓盤(pán)的角速度為4rad/s；
（3）B做離心運(yùn)動(dòng)，A繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道A、B做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，抓住臨界狀態(tài)，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解．