Question

2．如圖1所示，光滑曲面軌道置于離地面高度H=1.8m的平臺(tái)上，其末端切線水平．另有一長(zhǎng)木板兩端分別擱在軌道末端點(diǎn)和水平地面間，構(gòu)成傾角θ=37°的斜面，整個(gè)裝置固定在豎直平面內(nèi)．一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m=0.1kg的小球，從光滑曲面上由靜止開始下滑．（不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）若小球在曲面上離平臺(tái)高度h₁=0.45m處?kù)o止下滑，求小球離開平臺(tái)時(shí)的速度大小；
（2）若小球下滑后正好落在木板的末端，求小球在曲面上的釋放點(diǎn)離平臺(tái)的高度h₀；
（3）試推導(dǎo)小球下滑后第一次撞擊木板時(shí)的動(dòng)能E_k與它在曲面上的釋放點(diǎn)離平臺(tái)的高度h的關(guān)系表達(dá)式，在如圖2中并作出E_k-h圖象．

Answer 1

分析 （1）小球下滑過(guò)程中受重力和支持力，其中支持力不做功，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解小球離開平臺(tái)時(shí)的速度大��；
（2）先根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式求解出平拋的初速度，然后對(duì)沿斜面下滑過(guò)程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式求解釋放點(diǎn)離平臺(tái)的高度h₀；
（3）小球落到斜面上，位移方向一定，先根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系公式得到運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再求出水平和豎直分速度后合成合速度，得到動(dòng)能的一般表達(dá)式，再作圖．

解答 解：（1）小球從曲面上滑下，只有重力做功，由機(jī)械能守恒定律：
  mgh₁=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
解得 v₀=$\sqrt{2g{h}_{1}}$=$\sqrt{2×10×0.45}$=3m/s
即小球離開平臺(tái)時(shí)速度的大小是3m/s．
（2）小球離開平臺(tái)后做平拋運(yùn)動(dòng)，小球正好落到水平地面木板的末端，則
 H=$\frac{1}{2}$gt²      
 $\frac{H}{tanθ}$=v₁t    
聯(lián)立上兩式得：v₁=4m/s
小球在曲面下滑的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律：
  mgh₀=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 h₀=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}$=$\frac{16}{20}$m=0.8m
即釋放小球的高度h₀為0.8m．
（3）由機(jī)械能守恒定律可得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
小球由離開平臺(tái)后做平拋運(yùn)動(dòng)，可看做水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)，則：
 y=$\frac{1}{2}$gt²   
 x=v₀t      
又 tan37°=$\frac{y}{x}$
 小球撞擊木板時(shí)豎直分速度  v_y=gt   
此時(shí)的速度  v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
動(dòng)能 E_K=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由以上解得：E_k=3.25h  
考慮到當(dāng)h＞0.8m時(shí)小球不會(huì)落到斜面上，其圖象如圖所示

答：
（1）小球離開平臺(tái)時(shí)的速度大小為3m/s．    
（2）小球在曲面上的釋放點(diǎn)離平臺(tái)的高度h₀為0.8m．   
（3）小球下滑后第一次撞擊木板時(shí)的動(dòng)能E_k與它在曲面上的釋放點(diǎn)離平臺(tái)的高度h的關(guān)系表達(dá)式為 E_k=3.25h，圖象如圖．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是將平拋運(yùn)動(dòng)沿著水平和豎直方向正交分解，根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系公式和速度時(shí)間關(guān)系列式，同時(shí)對(duì)沿斜面加速過(guò)程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式后聯(lián)立求解．