Question

19．我國(guó)某載人飛船在酒泉航天發(fā)射場(chǎng)發(fā)射升空．由長(zhǎng)征運(yùn)載火箭將飛船送入近地點(diǎn)為A、遠(yuǎn)地點(diǎn)為B的橢圓軌道上，A點(diǎn)距地面的高度為h₁，飛船飛行五周后進(jìn)行變軌，進(jìn)入預(yù)定圓軌道，在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用時(shí)間為t．已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R．求：
（1）飛船在A點(diǎn)的加速度大小
（2）遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面的高度
（3）飛船沿著橢圓軌道到達(dá)B后應(yīng)加速還是減速才能進(jìn)入預(yù)定圓軌道？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力公式以及黃金代換式GM=gR²，求出飛船在A點(diǎn)所受的合力，從而求出加速度．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr（\frac{2π}{T}）^{2}$，已知周期，求出軌道半徑，從而求出高度．
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力與向心力之間的關(guān)系分析．

解答 解：（1）飛船在A點(diǎn)所受的萬(wàn)有引力F=$G\frac{Mm}{（R+{h}_{1}）^{2}}$．
        由黃金代換式GM=gR²，得F=$\frac{g{R}^{2}m}{（R+{h}_{1}）^{2}}$，
根據(jù)牛頓第二定律a=$\frac{F}{m}=\frac{g{R}^{2}}{{（R+{h}_{1}）}^{2}}$．
故飛船在A點(diǎn)的加速度為$\frac{g{R}^{2}}{{（R+{h}_{1}）}^{2}}$．
（2）$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr（\frac{2π}{T}）^{2}$，T=$\frac{t}{N}$
所以r=$\root{3}{\frac{GM{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}}}$
由黃金代換式GM=gR²，r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}}}$，所以h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}}}-R$
故遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面的高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}}}-R$．
（3）飛船沿著橢圓軌道到達(dá)B后，由于原來的速度比較小，需要的向心力小于萬(wàn)有引力，所以做向心運(yùn)動(dòng)，若在B點(diǎn)開始做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則需要加速才能使需要的向心力增大．石頭應(yīng)加速才能進(jìn)入預(yù)定圓軌道．
答：（1）飛船在A點(diǎn)的加速度大小是$\frac{g{R}^{2}}{{（R+{h}_{1}）}^{2}}$；
（2）遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面的高度是$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}}}-R$；
（3）飛船沿著橢圓軌道到達(dá)B后應(yīng)加速才能進(jìn)入預(yù)定圓軌道．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握黃金代換式GM=gR²，萬(wàn)有引力提供向心力，$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr（\frac{2π}{T}）^{2}$，以及開普勒第三定律$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=C$．