Question

9．如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的$\frac{1}{4}$圓弧光滑軌道，半徑為R=4m，軌道的最低點(diǎn)B的切線沿水平方向，軌道上端A距水平地面高度為H=20m．質(zhì)量為m=1kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從軌道最上端A點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)軌道最下端B點(diǎn)水平飛出，最后落在水平地面上的C點(diǎn)處，若空氣阻力可忽略不計(jì)，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)它的支持力多大；
（2）小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離x為多少；
（3）H保持不變，當(dāng)R為多少時(shí)，小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)水平距離x最遠(yuǎn)；該水平距離最大值是多少．

Answer 1

分析 （1）小球由A→B過(guò)程中，只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律及向心力公式列式求解；
（2）小球從B點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式求解；
（3）利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析水平位移的表達(dá)式即可求解．

解答 解：（1）小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，設(shè)在B點(diǎn)的速度為v_B，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有  mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²
設(shè)小球在B點(diǎn)時(shí)所受軌道的支持力為F_N，對(duì)小球在B點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律有
F_N-mg=m$\frac{v_B^2}{R}$
聯(lián)立可解得F_N=3mg=3×10N=30N
（2）小球離開(kāi)B點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)．
沿豎直方向有  H-R=$\frac{1}{2}g{t^2}$
沿水平方向有  x=v_Bt 
聯(lián)立解得  x=2$\sqrt{R（H-R）}$=$2\sqrt{4×（20-4）}m$=16m
（3）由x=2$\sqrt{R（H-R）}$可導(dǎo)出x=2$\sqrt{-{{（R-\frac{H}{2}）}^2}+\frac{H^2}{4}}$
當(dāng)$R=\frac{1}{2}H=10m$時(shí)，x有最大值．
x的最大值x_m=H=20m         
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)它的支持力為30N；
（2）小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離x為16m；
（3）H保持不變，當(dāng)R為10m時(shí)，小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)水平距離x最遠(yuǎn)；該水平距離最大值是為20m．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵對(duì)兩個(gè)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析清楚，然后選擇機(jī)械能守恒定律和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律列式求解．