Question

【題目】如圖甲所示，陀螺可在圓軌道外側(cè)旋轉(zhuǎn)而不脫落，好像軌道對(duì)它施加了魔法一樣，被稱為 “魔力陀螺”。它可等效為一質(zhì)點(diǎn)在圓軌道外側(cè)運(yùn)動(dòng)模型，如圖乙所示。在豎直平面內(nèi)固定的強(qiáng)磁性圓軌道半徑為R，A、B兩點(diǎn)分別為軌道的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)沿軌道外側(cè)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，受圓軌道的強(qiáng)磁性引力始終指向圓心O且大小恒為F，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)以速率通過(guò)A點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力為其重力的7倍，不計(jì)摩擦和空氣阻力，重力加速度為g。

(1)求質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量；

(2)質(zhì)點(diǎn)能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若磁性引力大小恒定，試證明質(zhì)點(diǎn)對(duì)A、B兩點(diǎn)的壓力差為定值；

(3)若磁性引力大小恒為2F，為確保質(zhì)點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)通過(guò)B點(diǎn)最大速率。

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】【試題分析】對(duì)陀螺受力分析，分析最高點(diǎn)的向心力來(lái)源，根據(jù)向心力公式即可求解；在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)速度最大的臨界條件是支持力為0，根據(jù)向心力公式分別求出最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的最大速度。

(1)在A點(diǎn): ①

根據(jù)牛頓第三定律: ②

由①②式聯(lián)立得: ③

(2)質(zhì)點(diǎn)能完成圓周運(yùn)動(dòng),在A點(diǎn):根據(jù)牛頓第二定律: ④

根據(jù)牛頓第三定律: ⑤

在B點(diǎn),根據(jù)牛頓第二定律: ⑥

根據(jù)牛頓第三定律: ⑦

從A點(diǎn)到B點(diǎn)過(guò)程,根據(jù)機(jī)械能守恒定律: ⑧

由④⑤⑥⑦⑧聯(lián)立得: 為定值，得到證明。

(3)在B點(diǎn),根據(jù)牛頓第二定律:

當(dāng)FB=0,質(zhì)點(diǎn)速度最大,

⑨

由③⑨⑩聯(lián)立得: