Question

過山車是游樂場(chǎng)中常見的設(shè)施．下圖是一種過山車部分軌道的簡(jiǎn)易模型，它由θ=45°的傾斜軌道和在豎直平面內(nèi)的三個(gè)圓形軌道及水平軌道組成．A是傾斜軌道的最高點(diǎn)，其最低點(diǎn)與B平滑相連，且彎道部分長(zhǎng)度忽略不計(jì)，B、C、D分別是三個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，B、C間距與C、D間距相等，半徑R₁=15.0m、R₂=12.0m．一個(gè)質(zhì)量為m=500kg的車廂（視為質(zhì)點(diǎn)），從傾斜軌道的最高點(diǎn)A點(diǎn)由靜止開始滑下，A、B的高度差H=60m．車廂與傾斜及水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，圓形軌道是光滑的．假設(shè)水平軌道足夠長(zhǎng)，圓形軌道間不相互重疊．取g=10m/s²，求：

（1）車廂在經(jīng)過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)車廂作用力的大�。�
（2）如果車廂恰能通過第二個(gè)圓形軌道，B、C間距L應(yīng)是多少？
（3）在滿足（2）的條件下，要使車廂能安全通過第三個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)，半徑R₃應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）對(duì)從初位置到第一圓軌道最高點(diǎn)過程運(yùn)用動(dòng)能定理列式，第一圓軌道最高點(diǎn)支持力和重力的合力提供向心力，聯(lián)立求解即可；
（2）對(duì)從初位置到第二圓軌道最高點(diǎn)過程運(yùn)用動(dòng)能定理列式，第二圓軌道最高點(diǎn)重力提供向心力，聯(lián)立求解即可；
（3）對(duì)從初位置到第三圓軌道最高點(diǎn)過程運(yùn)用動(dòng)能定理列式，第三圓軌道最高點(diǎn)重力提供向心力，聯(lián)立求解出最小半徑即可．

解答：解：（1）車廂從A滑到B過程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
mg(H-2R1)-μmgcosθ?

H

sinθ

=m

v 2 B

R1

            
車廂經(jīng)過第一個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)速度為v₁，重力和支持力的合力提供向心力，有：
F+mg=m

v 2 1

R1

               
聯(lián)立解得：F=7×10³N
（2）車廂在第二個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)的速度為v₂，重力提供向心力，有：
mg=m

v 2 2

R2

對(duì)從初位置到第二圓軌道最高點(diǎn)過程運(yùn)用動(dòng)能定理，得到：
mg（H-2R₂）-μmgcosθ?

H

sinθ

-μmgL=m

v 2 C

R2

聯(lián)立解得：L=90m
（3）車廂安全通過第三個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)最大半徑應(yīng)滿足
mg=m

v 2 3

R3

對(duì)從初位置到第三圓軌道最高點(diǎn)過程運(yùn)用動(dòng)能定理，有：
mg（H-2R₃）-μmgcosθ?

H

sinθ

-2μmgL=m

v 2 D

R3

聯(lián)立解得：R₃=4.8m；
答：（1）車廂在經(jīng)過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)車廂作用力的大小為7×10³N；
（2）如果車廂恰能通過第二個(gè)圓形軌道，B、C間距L應(yīng)是90m；
（3）要使車廂能安全通過第三個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)，半徑應(yīng)滿足條件是R≤4.8m．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵靈活地選擇過程運(yùn)用動(dòng)能定理列式，同時(shí)明確要完成的圓周運(yùn)動(dòng)，臨界條件是通過最高點(diǎn)時(shí)彈力為零．