Question

如圖甲所示，在光滑絕緣的水平桌面上建立一xoy坐標(biāo)系，平面處在周期性變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)中，電場(chǎng)和磁場(chǎng)的變化規(guī)律如圖乙所示（規(guī)定沿+y方向?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度的正方向，豎直向下為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向）．在t=0時(shí)刻，一質(zhì)量為10g、電荷量為0.1C的帶電金屬小球自坐標(biāo)原點(diǎn)O處，以v₀=2m/s的速度沿x軸正方向射出．已知E₀=0.2N/C、B₀=0.2πT．求：
（1）t=1s末速度的大小和方向；
（2）1s～2s內(nèi)，金屬小球在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和周期；
（3）（2n-1）s～2ns（n=1，2，3，…）內(nèi)金屬小球運(yùn)動(dòng)至離x軸最遠(yuǎn)點(diǎn)的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）第一秒內(nèi)粒子做類似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分速度公式列式求解；
（2）根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解軌道半徑和周期；
（3）先求出（2n-1）s的位置坐標(biāo)和速度大小和方向，再求出第2ns內(nèi)的軌道半徑，畫(huà)出軌跡，最后求離x軸最遠(yuǎn)距離．

解答：解：（1）在0～1s內(nèi)，金屬小球在電場(chǎng)力作用下，在x軸方向上做勻速運(yùn)動(dòng)v_x=v₀，y方向做勻加速運(yùn)動(dòng)vy=

qE0

m

t1
1s末粒子的速度v1=

v 2 x + v 2 y

=2

2

m/s
設(shè)v₁與x軸正方向的夾角為α，則tanα=

vy

vx

=1，故α=45⁰
（2）在1s～2s內(nèi)，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，得qv1B0=

m v 2 1

R1

，解得R1=

mv1

qB0

=

2

π

m                   
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πm

qB0

=1s
（3）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示

（2n-1）s末粒子的橫坐標(biāo)為x=v₀t=2n（m）                   
縱坐標(biāo)為：y=

1

2

at2=

1

2

×

qE0

m

×n2=n2（m）                     
此時(shí)粒子的速度為：vn=

v 2 0 +( qE0 m ×n)2

=2

n2+1

 m/s
速度偏向角的正切值為：tanθ=

vy

v0

=

qE0 m ×n

v0

=n
帶電粒子在（2n-1）s～2ns（n=1，2，3…）內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖2所示，半徑Rn=

mvn

qB0

=

n2+1

π

m      
（2n-1）s～2ns（n=1，2，3，…）內(nèi)粒子運(yùn)動(dòng)至離x軸最遠(yuǎn)點(diǎn)橫坐標(biāo)為：X=x-Rnsinθ=(2n-

n

π

)m             
縱坐標(biāo)為：Y=y+Rn(1+cosθ)=(n2+

n2+1

π

+

1

π

)m     
答：（1）t=1s末速度的大小為2

2

m/s，方向與x軸成45°角；
（2）1s～2s內(nèi)，金屬小球在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為

2

π

m，周期為1s；
（3）（2n-1）s～2ns（n=1，2，3，…）內(nèi)金屬小球運(yùn)動(dòng)至離x軸最遠(yuǎn)點(diǎn)的位置坐標(biāo)為（(2n-

n

π

)m，(n2+

n2+1

π

+

1

π

)m）．

點(diǎn)評(píng)：本題中粒子奇數(shù)秒內(nèi)做類似平拋運(yùn)動(dòng)，偶數(shù)秒內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡并根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律和勻速圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律列式分析．