Question

4．如圖所示，水平方向的圓形磁場區(qū)域與豎直邊界MN相切于C點，磁場半徑為R，C點與磁場圓心O等高．邊界PQ、熒光屏GH均與MN平行，且MN與PQ之間間距為$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，PQ與GH之間的間距為R．在PQ、GH間存在豎直向下的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qR}$．現(xiàn)從O點正下方的A點同時垂直磁場方向射入兩個相同的帶電粒子1和2，它們的質(zhì)量為m，電量為+q，速度大小均為v₀；粒子1的速度方向指向O點，粒子2的速度方向與AO成30⁰夾角斜向右上方．粒子1恰能從C點射出磁場．粒子視為質(zhì)點，在圖示平面內(nèi)運動，電荷量保持不變，不計空氣阻力、重力，忽略邊緣效應(yīng)．
（1）求圓形磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（2）求兩粒子2從進(jìn)入磁場到熒光屏所用時間t．

Answer 1

分析 粒子在圓形磁場區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運動，涉及兩圓相交的幾何知識，最能考察數(shù)學(xué)應(yīng)用能力．
（1）根據(jù)粒子1從A點沿AO射入，從C點射出，可以知道粒子的軌道半徑為R，從而求得磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）粒子2只是入射方向不同，根據(jù)半徑相同的兩圓相交的性質(zhì)得到：粒子2出射方向恰與MN垂直．出射點與MN的水平距離為R-Rcos30°，所以水平勻速直線運動的位移除以速度得到第二階段的時間．水平進(jìn)入電場后又做類平拋運動，根據(jù)水平位移求出時間．

解答 解：（1）粒子1從A射入從C點射出，由幾何關(guān)系得到粒子1在磁場區(qū)域做勻速圓周運動的半徑：
r₁=R        ①
對粒子1在磁場中有：
$q{v}_{0}B=\frac{{{mv}_{0}}^{2}}{{r}_{1}}$     ②
聯(lián)立得：$B=\frac{m{v}_{0}}{qR}$．
（2）粒子2以AO成30°入射，也做半徑為r₂=R的勻速圓周運動，
根據(jù)相交圓的性質(zhì)知：粒子2轉(zhuǎn)過60°從D點射出，在磁場里所用時間為：
${t}_{1}=\frac{1}{6}T=\frac{πR}{3{v}_{0}}$
由于粒子2開始與豎直方向成30°入射，又轉(zhuǎn)過60°，則離開磁場時速度方向恰與MN垂直．那么在MP之間做勻速直線運動的時間為：
${t}_{2}=\frac{MP+R-Rcos30°}{{v}_{0}}=\frac{R}{{v}_{0}}$
進(jìn)入電場后做類平拋運動，時間為
${t}_{3}=\frac{R}{{v}_{0}}$
所以總時間為$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{π+6}{3{v}_{0}}R$
答：（1）圓形磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{m{v}_{0}}{qR}$．
（2）粒子2從進(jìn)入磁場到熒光屏所用時間為$\frac{π+6}{3{v}_{0}}R$

點評 本題的難點在于粒子2進(jìn)入磁場區(qū)域的出射點問題，涉及到相交圓的性質(zhì)定理，易錯點在于離開磁場后水平勻速直線運動運動的位移，這又考察到幾何知識．至于在電場中的運動，根據(jù)水平位移就可求出時間．