Question

10．如圖所示，一對(duì)光滑的平行金屬導(dǎo)軌固定在同一水平面內(nèi)，導(dǎo)軌的間距l(xiāng)=0.4m，在導(dǎo)軌的左端接有阻值R=0.2Ω的電阻，一質(zhì)量m=0.1kg、電阻r=0.1Ω的金屬棒PQ垂直于導(dǎo)軌放置其上，整個(gè)裝置豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.4T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．現(xiàn)對(duì)金屬棒施加一在水平向右的作用力，使其由靜止開始以a=2m/s²的加速度做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在金屬棒的位移x=9m時(shí)撤去外力，金屬棒繼續(xù)運(yùn)動(dòng)一段距離后停下來．已知導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)，金屬棒在運(yùn)動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌保持良好接觸．撤去外力后，求：
（1）電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q_R；
（2）金屬棒沿導(dǎo)線滑行的距離L（保留3位有效數(shù)字）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出撤去外力時(shí)金屬棒的速度，撤去外力后棒在安培力作用下做減速運(yùn)動(dòng)，安培力做負(fù)功，使棒的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能，再通過電流做功將電能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，產(chǎn)生的焦耳熱等于棒的動(dòng)能減少，求出撤去外力后R產(chǎn)生的焦耳熱，從而得到總的焦耳熱．
（3）對(duì)于勻加速運(yùn)動(dòng)過程，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出金屬棒運(yùn)動(dòng)的距離．撤去外力后，根據(jù)牛頓第二定律和加速度的定義式，結(jié)合微元法求解滑行距離．再得到總距離L．

解答 解：（1）設(shè)撤去外力棒的速度為v．則有：
v=$\sqrt{2ax}$=$\sqrt{2×2×9}$=6m/s
撤去外力后棒在安培力作用下做減速運(yùn)動(dòng)，安培力做負(fù)功先將棒的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，所以回路中產(chǎn)生的焦耳熱等于棒的動(dòng)能減少．
由能量守恒定律得回路產(chǎn)生的總焦耳熱為：Q_總=△E_K=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}×0.1×{6}^{2}$=1.8J
則電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱為：Q_R=$\frac{R}{R+r}$_總=$\frac{0.2}{0.2+0.1}$×1.8J=1.2J
（2）撤去外力后，設(shè)棒的速度為v時(shí)加速度大小為a．在極短時(shí)間△t內(nèi)速度的變化量為△v，通過的位移為△x．
則有：a=$\frac{△v}{△t}$
取向右為正方向，根據(jù)牛頓第二定律得：-BIl=ma
又 I=$\frac{Blv}{R+r}$
聯(lián)立得：-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R+r}$=m$\frac{△v}{△t}$
則得：-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R+r}$△t=m△v
兩邊求和得：$\sum_{\;}^{\;}$（-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R+r}$△t）=$\sum_{\;}^{\;}$m△v
又△x=v△t
可得-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}}{R+r}L$=0-mv
得 L=$\frac{mv（R+r）}{{B}^{2}{l}^{2}}$=$\frac{0.1×6×0.3}{0．{4}^{2}×0．{4}^{2}}$≈7.03m
答：
（1）電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q_R是1.2J
（2）金屬棒沿導(dǎo)線滑行的距離L是7.03m．

點(diǎn)評(píng) 解決該題關(guān)鍵要會(huì)微元法求金屬棒通過的距離，其切入口是牛頓第二定律和瞬時(shí)加速度的表達(dá)式，還要分析清楚運(yùn)動(dòng)過程中不同形式的能量中如何轉(zhuǎn)化，運(yùn)用能量守恒求熱量．