Question

如圖所示，在一對(duì)以板長(zhǎng)為2a、板間距離為

2

3

a的平行板圍成的矩形EFQP區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子從靜止開始經(jīng)過(guò)電勢(shì)差為U的電場(chǎng)加速后，從EF邊的中點(diǎn)小孔D處垂直于EF邊進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)重力和空氣阻力的影響．
（1）若粒子的軌道半徑為a，求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（2）若改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，使粒子恰好未碰PQ板，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）若再次改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，使粒子與ED板多次碰撞后剛好擊中板端E點(diǎn)，試討論此種情況粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與碰撞次數(shù)的關(guān)系．（不計(jì)粒子與ED板碰撞的作用時(shí)間．設(shè)粒子與ED板碰撞前后，電量保持不變并以相同的速率反彈．）

Answer 1

分析：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后由洛侖茲力提供向心力，通過(guò)動(dòng)能定理即圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式即可求出B；
（2）通過(guò)對(duì)題目的分析作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可得到其運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑，通過(guò)周期公式及幾何關(guān)系即可求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)圓周半徑為r，經(jīng)過(guò)n次碰撞，即經(jīng)過(guò)n個(gè)半圓運(yùn)動(dòng)，最后一次打到E點(diǎn)，已知其運(yùn)動(dòng)的周期，就可以求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，就可以判斷時(shí)間與碰撞次數(shù)有無(wú)關(guān)系．

解答：解：（1）設(shè)粒子經(jīng)電場(chǎng)加速射入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，
由動(dòng)能定理有：qU=

1

2

m v2  ①
又設(shè)當(dāng)粒子的軌道半徑為r₁=a時(shí)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，由洛侖茲力提供向心力有：qvB=m

v2

r1

  ②
聯(lián)立①②式并代入已知量解得：B=

1

a

2mU q

 
（2）若粒子恰好未碰PQ板，則由題意和作圖知其軌道半徑為：
    r2=

2

3

a   ③
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的圓心角為α，
由圖中幾何關(guān)系有：
    α=

π

2

+θ       ④
   sinθ=

a-r2

r2

     ⑤
而周期為：T=

2πr2

v

 ⑥
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=

α

2π

? T ⑦
聯(lián)立①③④⑤⑥⑦式并解得：t=

4πa

9

m 2qU

    
（3）設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)圓周半徑為r，經(jīng)過(guò)n次碰撞，即經(jīng)過(guò)n個(gè)半圓運(yùn)動(dòng)，最后一次打到E點(diǎn)．
有：n=

a

2r

 ⑧
圓周運(yùn)動(dòng)周期：T=

2πr

v

     ⑨
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間：tm=n

T

2

  ⑩
聯(lián)立①⑧⑨⑩式并解得：tm=

πa

2

m 2qU

  
顯然，此種情況粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與碰撞次數(shù)無(wú)關(guān)．
答：（1）若粒子的軌道半徑為a，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為

1

a

2mU q

；（2）若改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，使粒子恰好未碰PQ板，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

4πa

9

m 2qU

；（3）若再次改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，使粒子與ED板多次碰撞后剛好擊中板端E點(diǎn)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

πa

2

m 2qU

與碰撞次數(shù)的無(wú)關(guān)．

點(diǎn)評(píng)：該題是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的題型，要求同學(xué)們能畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡并結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)解題，還要注意粒子運(yùn)動(dòng)的周期性，難度較大．