Question

8．隨著時(shí)代的不斷發(fā)展，快遞業(yè)發(fā)展迅猛，大量的快件需要分揀．為了快件的安全，某網(wǎng)友發(fā)明了一個(gè)緩沖裝置，其理想模型如圖所示．勁度系數(shù)足夠大的輕質(zhì)彈簧與輕桿相連，輕桿可在固定的槽內(nèi)移動(dòng)，與槽間有恒定的滑動(dòng)摩擦力作用，輕桿向下移動(dòng)一定距離后才停下，保證了快件的安全．一質(zhì)量為m的快件從彈簧上端l處由靜止釋放，沿斜面下滑后與輕桿相撞，輕桿與槽間最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，大小為f=mg，不計(jì)快件與斜面間的摩擦．
（1）求快件與彈簧相撞時(shí)的速度大�。�
（2）若彈簧的勁度系數(shù)為k=$\frac{4mg}{l}$，求輕桿開始移動(dòng)時(shí)，彈簧的壓縮量x₁．
（3）已知彈簧的彈性勢(shì)能表達(dá)式為E_p=$\frac{1}{2}k{x^2}$，其中k為勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量．試求（2）情況下，輕桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)快件的加速度a，以及輕桿向下移動(dòng)的最大距離x₂．

Answer 1

分析 （1）快件向下運(yùn)動(dòng)的過程中機(jī)械能守恒，由此即可求出快件與彈簧相撞時(shí)的速度大小；
（2）輕桿開始移動(dòng)時(shí)，根據(jù)胡克定律求出彈簧的壓縮量；
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出快件的加速度；則快件開始運(yùn)動(dòng)到桿剛剛開始運(yùn)動(dòng)的過程中，重力和彈簧的彈力做功，對(duì)快件由動(dòng)能定理快件的速度；快件從撞擊到停止的過程中由運(yùn)動(dòng)學(xué)列出等式求解．

解答 解：（1）由于不計(jì)快件與斜面間的摩擦，所以快件向下運(yùn)動(dòng)的過程中機(jī)械能守恒，得：
$mglsinθ=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$  ①
所以：v₁=$\sqrt{2glsin30°}$=$\sqrt{gl}$
（2）輕桿開始移動(dòng)時(shí)，彈簧的彈力F=kx₁ ②
且F=f=mg ③
解得 x₁=$\frac{f}{k}$=$\frac{mg}{\frac{4mg}{l}}=\frac{l}{4}$
（3）輕桿開始移動(dòng)時(shí)，彈簧的彈力F=kx=$\frac{4mg}{l}×\frac{l}{4}=mg$  ④
沿斜面的方向，選取向下為正方向，由牛頓第二定律得：ma=mgsinθ-F   ⑤
聯(lián)立④⑤得：a=$-\frac{1}{2}g$
負(fù)號(hào)表示方向向上．
設(shè)桿移動(dòng)前快件對(duì)彈簧所做的功為W，則快件開始運(yùn)動(dòng)到桿剛剛開始運(yùn)動(dòng)的過程中，對(duì)快件由動(dòng)能定理得：
$mg（l+{x}_{1}）•sinθ-W=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$    ⑥
由于快件對(duì)彈簧所做的功為W轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，即：W=E_p=$\frac{1}{2}k{x}_{1}^{2}$   ⑦
聯(lián)立得：$v=\sqrt{gl}$
快件向下做減速運(yùn)動(dòng)，有運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式得：$2a{x}_{2}=0-{v}^{2}$
所以：${x}_{2}=\frac{{v}^{2}}{-2a}=l$
答：（1）求快件與彈簧相撞時(shí)的速度大小是$\sqrt{gl}$．
（2）若彈簧的勁度系數(shù)為k=$\frac{4mg}{l}$，輕桿開始移動(dòng)時(shí)，彈簧的壓縮量是$\frac{l}{4}$．
（3）已知彈簧的彈性勢(shì)能表達(dá)式為E_p=$\frac{1}{2}k{x^2}$，其中k為勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量．在（2）情況下，輕桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)快件的加速度大小是$\frac{1}{2}g$，方向向上，輕桿向下移動(dòng)的最大距離x₂是l．

點(diǎn)評(píng) 正緩沖裝置是一種實(shí)用裝置，在生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用，本題就是根據(jù)某種緩沖裝置改編的一道物理試題，試題設(shè)計(jì)新穎，物理思想深刻．正確解答這道試題，要求考生具有扎實(shí)的高中物理基礎(chǔ)以及很強(qiáng)的分析和解決問題的能力．