Question

摩天大樓中一部直通高層的客運電梯．行程超過百米．電梯的簡化模型如下所示．電梯的加速度a隨時間t變化的．已知電梯在t=0時由靜止開始上升，a一t圖象如圖2所示．電梯總質最m=2.0x10³kg．忽略一切阻力．重力加速度g取10m/s²．求
（1）電梯在上升過程中受到的最大拉力F₁和最小拉力F₂；
（2）類比是一種常用的研究方法．對于直線運動，教科書中講解了由v-t圖象求位移的方法．請你借鑒此方法，對比加速度的和速度的定義，根據(jù)圖2所示a-t圖象，求電梯在第1s內(nèi)的速度改變量△v₁和第2s末的速率v₂；
（3）電梯以最大速率上升時，拉力做功的功率p；
（4）求在0～11s時間內(nèi)，拉力和重力對電梯所做的總功w．

Answer 1

解；（1）由牛頓第二定律，有 F-mg=ma
由a─t圖象可知，F(xiàn)₁和F₂對應的加速度分別是a₁=1.0m/s²，a₂=-1.0m/s²
則
  F₁=m（g+a₁）=2.0×10³×（10+1.0）N=2.2×10⁴N
  F₂=m（g+a₂）=2.0×10³×（10-1.0）N=1.8×10⁴N
（2）通過類比可得，電梯的速度變化量等于第1s內(nèi)a─t圖線下的面積
△υ₁=0.50m/s
同理可得，△υ₂=υ₂-υ₀=1.5m/s
υ₀=0，第2s末的速率υ₂=1.5m/s
（3）由a─t圖象可知，11s～30s內(nèi)速率最大，其值等于0～11s內(nèi)a─t圖線下的面積，有
  υ_m=10m/s
此時電梯做勻速運動，拉力F等于重力mg，所求功率
P=Fυ_m=mg?υ_m=2.0×10³×10×10W=2.0×10⁵W
（4）由動能定理，總功
W=E_k2-E_k1=

1

2

mυ_m²-0=

1

2

×2.0×10³×10²J=1.0×10⁵J
答：
（1）電梯在上升過程中受到的最大拉力F₁是2.2×10⁴N，最小拉力F₂是1.8×10⁴N．
（2）電梯在第1s內(nèi)的速度改變量△υ₁是0.50m/s，第2s末的速率υ₂是1.5m/s．
（3）電梯以最大速率上升時，拉力做功的功率P為2.0×10⁵W；
（4）在0─11s時間內(nèi)，拉力和重力對電梯所做的總功W是1.0×10⁵J．