Question

兩根足夠長的光滑平行導(dǎo)軌與水平面的夾角θ=30°，寬度L=0.2m，導(dǎo)軌間有與導(dǎo)軌平面垂直的勻強磁場，磁感應(yīng)強度B=0.5T，如圖所示，在導(dǎo)軌間接有R=0.2Ω的電阻，一質(zhì)量m=0.01kg、電阻不計的導(dǎo)體棒ab，與導(dǎo)軌垂直放置，無初速釋放后與導(dǎo)軌保持良好接觸并能沿導(dǎo)軌向下滑動．（g取10m/s²）
（1）求ab棒的最大速度．
（2）若將電阻R換成平行板電容器，其他條件不變，試判定棒的運動性質(zhì)．若電容C=1F，求棒釋放后4s內(nèi)系統(tǒng)損失的機械能．

Answer 1

分析：（1）分析棒的運動情況：開始階段，棒的重力沿斜面向下的分力大于安培力，棒做加速運動，隨著速度增大，棒所受的安培力增大，加速度減小，則棒做加速度減小的變加速運動；當重力沿斜面向下的分力與安培力平衡時，棒做勻速運動，速度達到最大．根據(jù)E=BLv、I=

E

R

、F=BIL，推導(dǎo)出安培力的表達式，由平衡條件可求出最大速度．
（2）若將電阻R換成平行板電容器，取極短時間內(nèi)，棒的速度增加量為△v，則得知棒的感應(yīng)電動勢增加量△E=BL△v，電容器充電，充電電流為I=

△q

△t

=

CBL△v

△t

=CBLa，棒所受的安培力大小為F=BIL=CB²L²a，根據(jù)牛頓第二定律：mgsinθ-CB²L²a=ma，即可求出加速度，可見，棒做勻加速運動，由運動學(xué)公式求出t=4s時棒的速度和位移，由能量守恒定律求解棒釋放后4s內(nèi)系統(tǒng)損失的機械能．

解答：解：（1）設(shè)某時刻ab的速度為v
則感應(yīng)電動勢E=BLv，電流強度  I=

E

R

=

BLv

R

棒所受安培力

F

B

=BIL=

B2L2v

R

則由牛頓第二定律得 mgsinθ-F_B=ma
代入得 mgsinθ-

B2L2v

R

=ma
當a=0時，有  vm=

mgRsinθ

B2L2

=1.0m/s
（2）設(shè)t時刻棒的加速度為a，速度為v，產(chǎn)生的電動勢為E，（t+△t）（△t→0）時刻，棒的速度為（v+△v），電動勢為E′，則
   E=BLv       E′=BL（v+△v）
△t內(nèi)流過棒截面的電荷量△q=C（E'-E）=CBL△v
電流強度I=

△q

△t

=

CBL△v

△t

棒受的安培力FB=BIL=

CB2L2△v

△t

=CB2L2a
由牛頓第二定律，t時刻對棒有   mgsinθ-F_B=ma
即 mgsinθ-CB²L²a=ma
故  a=

mgRsinθ

CB2L2+m

=2.5m/s2
故棒做勻加速直線運動．
當t=4s時，v=at=10m/s      x=

1

2

at2=20m
由能量守恒：△E=mgxsinθ-

1

2

mv2=0.5J
答：
（1）ab棒的最大速度為1m/s．
（2）若將電阻R換成平行板電容器，棒釋放后4s內(nèi)系統(tǒng)損失的機械能為0.5J．

點評：本題關(guān)鍵是分析棒的受力情況，分析其運動情況，第1問類似于汽車恒定功率起動的過程，要抓住安培力與速度成正比的特點進行動態(tài)分析．第2問難點是運用微分的方法分析電路中電流，求出安培力，根據(jù)牛頓第二定律判斷出棒的運動性質(zhì)．