Question

19．如圖所示，豎直輕彈簧下端固定在水平面上，質(zhì)量為m的小球與彈簧上端固定在一起．彈簧處于壓縮狀態(tài)，用一條拉緊的細線系住，此時細線上的拉力F=3mg．已知彈簧的彈性勢能與彈簧形變量的平方成正比，且彈簧始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度為g．現(xiàn)剪斷細線，彈簧將小球向上彈起，經(jīng)△t時間，小球上升到最高點，上升的最大高度為h．在此過程中，下列判斷正確的是（　�。�

• A． 小球速度最大時上升的高度小于$\frac{h}{2}$
• B． 地面對彈簧沖量的大小為mg△t
• C． 剪斷細線前彈簧的彈性勢能為mgh
• D． 小球的最大速度的大小為$\sqrt{\frac{3}{2}gh}$

Answer 1

分析 A、小球做簡諧運動，上升的最大高度為h，結(jié)合對稱性，上升$\frac{h}{2}$時動能最大，處于平衡狀態(tài)；
B、對彈簧振子系統(tǒng)，對運動全程根據(jù)動量定理列式求解地面對彈簧沖量的大��；
C、對彈簧振子系統(tǒng)，根據(jù)機械能守恒定律列式分析；
D、結(jié)合機械能守恒定律列式求解小球的最大速度．

解答 解：A、小球做簡諧運動，上升的最大高度為h，簡諧運動具有對稱性，故上升$\frac{h}{2}$時動能最大，速度最大，即小球速度最大時上升的高度等于$\frac{h}{2}$，故A錯誤；
B、規(guī)定向上為正，對彈簧和小球系統(tǒng)，根據(jù)動量定理，有：
I-mg△t=0-0
故I=mg△t，故B正確；
C、開始時細線上的拉力F=3mg，球受拉力、重力和彈簧的支持力平衡，故彈簧彈力為4mg，壓縮量為$\frac{4mg}{k}$；
平衡位置彈簧的支持力為mg，壓縮量為$\frac{mg}{k}$；
故$\frac{h}{2}$=$\frac{4mg}{k}-\frac{mg}{k}=\frac{3mg}{k}$，則h=$\frac{6mg}{k}$；
結(jié)合簡諧運動的對稱性，最高點時彈簧的伸長量為：h-$\frac{4mg}{k}$=$\frac{2mg}{k}$；
從剪斷細線到小球運動到最高點為零過程，對彈簧和小球系統(tǒng)，重力勢能增加了mgh，動能不變，故彈性勢能減小了mgh，但最高點彈性勢能不為零，故剪斷細線前彈簧的彈性勢能大于mgh，故C錯誤；
D、已知彈簧的彈性勢能與彈簧形變量的平方成正比，設(shè)平衡位置彈性勢能為E_p，則最低點彈簧的彈性勢能為4²E_p=16E_p，最高點彈性勢能為2²E_P=4E_P；
彈簧振子系統(tǒng)的機械能守恒，以最低點為重力勢能零點，故：
$16{E}_{p}=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}+{E}_{p}+mg\frac{h}{2}$（最低點和平衡點系統(tǒng)機械能相等）
16E_p=4E_p+mgh （平衡點和最高點系統(tǒng)機械能相等）
聯(lián)立解得：v_m=$\sqrt{\frac{3}{2}gh}$；故D正確；
故選：BD

點評 本題關(guān)鍵是明確小球和彈簧系統(tǒng)機械能守恒，同時要結(jié)合簡諧運動的對稱性進行分析，考慮三個點（最低點、平衡點、最高點）的受力情況和彈簧的形變量情況，不太難．