Question

3．如圖所示，水平地面上放有一張正方形桌子，桌面abcd邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，桌面水平、光滑、絕緣，距地面高度為h，正方形桌面內(nèi)有豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，在桌面以外有豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E．（電場(chǎng)、磁場(chǎng)圖中沒(méi)有畫(huà)出）一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電小球（可看做質(zhì)點(diǎn)），從桌面邊緣ad中點(diǎn)M，以垂直于ad邊的速度v進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域．重力加速度為g．
（1）要使小球能夠從ab邊飛離桌面，求小球進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小的范圍；
（2）若小球恰好能從桌面上b點(diǎn)飛出，求小球落地點(diǎn)到桌面上b點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系求得小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑范圍，即可由洛倫茲力做向心力求得速度范圍；
（2）由小球從b點(diǎn)飛出得到小球的速度，然后分析小球在下落過(guò)程的受力情況，根據(jù)類平拋的位移公式求得位移．

解答 解：（1）對(duì)小球做受力分析可知，小球在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)重力與支持力平衡，那么小球在桌面上受到的合外力為洛倫茲力，故小球在洛倫茲力的作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，故有$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$v=\frac{BqR}{m}$；
由幾何關(guān)系可知：要使小球能夠從ab邊飛離桌面，那么小球不從ad邊射出，即運(yùn)動(dòng)半徑$R≥\frac{L}{4}$；小球不從bc邊射出，即運(yùn)動(dòng)半徑$R≤\frac{5}{4}L$；所以，$\frac{L}{4}≤R≤\frac{5L}{4}$；
故有$\frac{BqL}{4m}≤v≤\frac{5BqL}{4m}$；
（2）若小球恰好能從桌面上b點(diǎn)飛出，那么小球飛出時(shí)的速度${v}_{0}=\frac{5BqL}{4m}$，方向沿水平方向；
小球飛出后只受重力和電場(chǎng)力作用，故合外力F=mg+qE，方向豎直向下，所以，小球做類平拋運(yùn)動(dòng)；
那么，小球的加速度$a=\frac{F}{m}=\frac{mg+qE}{m}$，小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$t=\sqrt{\frac{2h}{a}}=\sqrt{\frac{2mh}{mg+qE}}$；
那么，小球的水平位移$x={v}_{0}t=\frac{5BqL}{4m}\sqrt{\frac{2mh}{mg+qE}}$；
所以，小球落地點(diǎn)到桌面上b點(diǎn)的距離
$d=\sqrt{{x}^{2}+{h}^{2}}$=$\sqrt{\frac{25{B}^{2}{q}^{2}{L}^{2}h}{8m（mg+qE）}+{h}^{2}}$；
答：（1）要使小球能夠從ab邊飛離桌面，則小球進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小的范圍為$[\frac{BqL}{4m}，\frac{5BqL}{4m}]$；
（2）若小球恰好能從桌面上b點(diǎn)飛出，那么小球落地點(diǎn)到桌面上b點(diǎn)的距離為$\sqrt{\frac{25{B}^{2}{q}^{2}{L}^{2}h}{8m（mg+qE）}+{h}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，一般先對(duì)粒子進(jìn)行受力分析得到粒子的運(yùn)動(dòng)情況，然后再根據(jù)幾何關(guān)系求得運(yùn)動(dòng)軌跡，即可求解運(yùn)動(dòng)速度、時(shí)間等問(wèn)題．