Question

如圖所示為摩托車(chē)特技比賽用的部分賽道，由一段傾斜坡道AB與豎直圓形軌道BCD銜接而成，銜接處平滑過(guò)渡且長(zhǎng)度不計(jì)．已知坡道的傾角θ=11.5°，圓形軌道的半徑R=10m，摩托車(chē)及選手的總質(zhì)量m=250kg，摩托車(chē)在坡道行駛時(shí)所受阻力為其重力的0.1倍．摩托車(chē)從坡道上的A點(diǎn)由靜止開(kāi)始向下行駛，A與圓形軌道最低點(diǎn)B之間的豎直距離h=5m，發(fā)動(dòng)機(jī)在斜坡上產(chǎn)生的牽引力F=2 750N，到達(dá)B點(diǎn)后摩托車(chē)關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)．已知sin11.5°=

1

5

，g取10m/s²，求：
（1）摩托車(chē)在AB坡道上運(yùn)動(dòng)的加速度；
（2）摩托車(chē)運(yùn)動(dòng)到圓軌道最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）若運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)恰好不脫離軌道，求摩托車(chē)在BC之間克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律求出摩托車(chē)在AB坡道上運(yùn)動(dòng)的加速度．
（2）根據(jù)速度位移公式求出摩托車(chē)到達(dá)B點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對(duì)摩托車(chē)的支持力，從而求出摩托車(chē)對(duì)軌道的壓力．
（3）摩托車(chē)恰好不脫離軌道時(shí)，在最高點(diǎn)靠重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合動(dòng)能定理求出摩托車(chē)在BC之間克服摩擦力做的功．

解答：解：（1）由受力分析與牛頓第二定律可知
F+mgsinθ-kmg=ma
代入數(shù)字解得a=12 m/s²
（2）設(shè)摩托車(chē)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度為v₁，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得

v

2 1

=

2ah

sinθ

，由此可得v₁=10

6

 m/s
在B點(diǎn)由牛頓第二定律可知
F_N-mg=m

v2

R

軌道對(duì)摩托車(chē)的支持力為F_N=1.75×10⁴ N
則摩擦車(chē)對(duì)軌道的壓力為1.75×10⁴ N
（3）摩托車(chē)恰好不脫離軌道時(shí)，在最高點(diǎn)速度為v₂
由牛頓第二定律得mg=m

mv 2 2

R

從B點(diǎn)到C點(diǎn)，由動(dòng)能定理得-mg2R-W_f=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

由此可解得W_f=1.25×10⁴ J
答：（1）摩托車(chē)在AB坡道上運(yùn)動(dòng)的加速度為12m/s²．
（2）摩托車(chē)運(yùn)動(dòng)到圓軌道最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為1.75×10⁴ N
（3）摩托車(chē)在BC之間克服摩擦力做的功為1.25×10⁴ J．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了牛頓第二定律和動(dòng)能定理，綜合性較強(qiáng)，以及知道圓周運(yùn)動(dòng)在最高點(diǎn)的臨界情況．