Question

4．如圖輕質(zhì)彈簧兩端分別與質(zhì)量m₁和m₂的小球焊接，現(xiàn)將彈簧壓縮使彈簧的彈性勢(shì)能為E₀時(shí)用細(xì)繩將兩小球鎖定，然后置于相互垂直的豎直墻與光滑水平面之間（m₂與墻接觸），再把細(xì)繩燒斷解鎖，求；
（1）彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，小球m₁的速度；
（2）在以后的運(yùn)動(dòng)中彈簧能達(dá)到的最大彈性勢(shì)能；
（3）小球m₂第一次獲得的最大速度．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，小球m₂剛離開(kāi)墻壁，由機(jī)械能守恒求出小球m₁的速度．
（2）在以后的運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)兩球的速度相同時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大，由動(dòng)量守恒定律求得共同速度，再由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律求解最大彈性勢(shì)能．
（3）小球m₂離開(kāi)墻壁后，彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，小球m₂的速度最大，由機(jī)械能守恒結(jié)合動(dòng)量守恒求解．

解答 解：（1）當(dāng)彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，小球m₂剛離開(kāi)墻壁，小球m₁的速度設(shè)為v₀，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒有：
  $\frac{1}{2}$m₁v₀²=E₀
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{{m}_{1}}}$
（2）以后運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)彈簧的彈性勢(shì)能最大時(shí)，兩球的速度相等，設(shè)為v，規(guī)定向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律有：
  m₁v₀=（m₁+m₂）v
由機(jī)械能守恒定律得：
最大彈性勢(shì)能 E_P=$\frac{1}{2}$m₁v₀²-$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}^{2}$
聯(lián)立解得 E_P=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}{E}_{0}$
（3）小球m₂離開(kāi)墻壁后，彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，小球m₂的速度最大，根據(jù)動(dòng)量守恒得：
 m₁v₀=m₁v_A1+m₂v₂
由機(jī)械能守恒定律得
 $\frac{1}{2}$m₁v₀²=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²；
解得小球m₂第一次獲得的最大速度 v₂=$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v₀=$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{{m}_{1}}}$
答：
（1）彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，小球m₁的速度是$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{{m}_{1}}}$；
（2）在以后的運(yùn)動(dòng)中彈簧能達(dá)到的最大彈性勢(shì)能是$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}{E}_{0}$；
（3）小球m₂第一次獲得的最大速度$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{{m}_{1}}}$．

點(diǎn)評(píng) 正確認(rèn)識(shí)動(dòng)量守恒條件和機(jī)械能守恒條件是解決本題的關(guān)鍵．如果一個(gè)系統(tǒng)不受外力或所受外力的矢量和為零，那么這個(gè)系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變；系統(tǒng)只有重力或彈力做功為機(jī)械能守恒條件．