Question

19．如圖，兩質(zhì)量相等的小球（視為質(zhì)點）M、N先后以相同的初速度水平向右從A點射出，兩球在兩水平面（虛線）之間的區(qū)域除受到重力外還分別受到大小相等、方向相反的水平恒力的作用，此區(qū)域以外小球只受重力作用．兩小球從上邊界進(jìn)入該區(qū)域，并從該區(qū)域的下邊界離開．已知N離開下邊界時的速度方向豎直向下；M在該區(qū)域做直線運動，剛離開該區(qū)域時的動能為N剛離開該區(qū)域時的動能的1.5倍．求
（1）M從A點射出開始到剛離開下邊界所用時間與N從A點射出開始到剛離開下邊界所用時間的比；
（2）M與N在兩水平面（虛線）之間的區(qū)域沿水平方向的位移之比；
（3）M在兩水平面（虛線）之間的區(qū)域所受到的水平力大小與重力大小之比．

Answer 1

分析 （1）M、N在豎直方向為自由落體運動，根據(jù)$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$可知時間相同；
（2）抓住兩球在區(qū)域中，水平方向上的加速度大小相等，一個做勻加速直線運動，一個做勻減速直線運動，在豎直方向上的運動時間相等得出水平方向時間相等，結(jié)合運動學(xué)公式求出M與N在區(qū)域中沿水平方向的位移之比；
（2）根據(jù)離開區(qū)域時動能的大小關(guān)系，抓住M做直線運動，得出M離開區(qū)域時水平分速度和豎直分速度的關(guān)系，抓住M速度方向不變，結(jié)合進(jìn)入?yún)^(qū)域時豎直分速度和水平分速度的關(guān)系，根據(jù)速度位移公式求出A點距區(qū)域上邊界的高度；結(jié)合小球在M區(qū)域中做直線運動，結(jié)合速度方向得出水平力和重力的關(guān)系．

解答 解：（1）M、N在豎直方向為自由落體運動，根據(jù)$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$可知時間相同，故時間之比為1：1；
（2）可知M球在虛線之間水平方向上做勻加速直線運動，N球在水平方向上做勻減速直線運動，水平方向上的加速度大小相等，
兩球在豎直方向均受重力，豎直方向上做加速度為g的勻加速直線運動，由于豎直方向上的位移相等，則運動的時間相等，
設(shè)水平方向的加速度大小為a，
對M，有：x_M=v₀t+$\frac{1}{2}$at²
對N：v₀=at，x_N=$\frac{1}{2}$at²
可得：x_M=$\frac{3}{2}$at²
解得：x_M：x_N=3：1
（3）設(shè)M小球離開區(qū)域時的豎直分速度為v_y，水平分速度為v₁，兩球區(qū)域時豎直分速度相等，
因為M在區(qū)域中做直線運動，剛離開區(qū)域時的動能為N剛離開區(qū)域時的動能的1.5倍，則有：
$\frac{1}{2}m（{v}_{y}^{2}+{v}_{1}^{2}）$=$1.5•\frac{1}{2}m{v}_{y}^{2}$
解得：${v}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{y}$
因為v₁=v₀+at=2v₀，則v₁=2v₀
因為M做直線運動，設(shè)小球進(jìn)區(qū)域時在豎直方向上的分速度為v_y1，則有：
$\frac{{v}_{y1}}{{v}_{0}}$=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{1}}$
解得：v_y1=$\frac{1}{2}{v}_{y}$
在豎直方向上有：${v}_{y1}^{2}=2gh$，${v}_{y}^{2}-{v}_{y1}^{2}=2gH$
解得A點距區(qū)域上邊界的高度h=$\frac{1}{3}H$
因為M做直線運動，合力方向與速度方向在同一條直線上，
有：$\frac{{v}_{y}}{{v}_{1}}=\frac{mg}{F}=\sqrt{2}$$\frac{{v}_{1}}{{v}_{y}}=\frac{F}{mg}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
答：（1）M從A點射出開始到剛離開下邊界所用時間與N從A點射出開始到剛離開下邊界所用時間的比為1：1；
（2）M與N在兩水平面（虛線）之間的區(qū)域沿水平方向的位移之比為3：1；
（3）M在兩水平面（虛線）之間的區(qū)域所受到的水平力大小與重力大小之比為$\sqrt{2}：2$．

點評 本題重在理清兩球在整個過程中的運動規(guī)律，將運動分解為水平方向和豎直方向，結(jié)合運動學(xué)公式靈活求解．