Question

13．如圖所示，兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一傾角為θ的光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌間距為L，電阻忽略不計(jì)且足夠長，一寬度為d的有界勻強(qiáng)磁場垂直于斜面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．另有一長為2d的絕緣桿將一導(dǎo)體棒和一邊長為d（d＜L）的正方形線框連在一起組成的固定裝置，總質(zhì)量為m，導(dǎo)體棒中通有大小恒為I的電流．將整個裝置置于導(dǎo)軌上，開始時導(dǎo)體棒恰好位于磁場的下邊界處．由靜止釋放后裝置沿斜面向上運(yùn)動，當(dāng)線框的下邊運(yùn)動到磁場的上邊界MN處時裝置的速度恰好為零．重力加速度為g．
（1）求剛釋放時裝置的加速度大��；
（2）求這一過程中線框中產(chǎn)生的熱量；
（3）在圖b中定性地畫出整個裝置向上運(yùn)動過程中的速度-時間（v-t）圖象（不需要表示坐標(biāo)）；
（4）之后裝置將向下運(yùn)動，然后向上運(yùn)動，經(jīng)過若干次往返后，最終整個裝置將在斜面上作穩(wěn)定的往復(fù)運(yùn)動．求穩(wěn)定后裝置運(yùn)動的最高位置與最低位置之間的距離．

Answer 1

分析 （1）裝置受重力、支持力和安培力作用，向上加速運(yùn)動，由牛頓第二定律求解加速度；
（2）從釋放裝置到線框的下邊運(yùn)動到磁場的上邊界MN過程中，用動能定理可求線框所受安培力對線框做功的大小為W，此功的數(shù)值等于線框中產(chǎn)生的熱量；
（3）第一段，初速度為零的勻加速運(yùn)動；第二段，加速度比第一段小的勻減速運(yùn)動；第三段，加速度減小的減速運(yùn)動，最終速度為零）；
（4）裝置往復(fù)運(yùn)動的最高位置：線框的上邊位于磁場的下邊界，此時金屬棒距磁場上邊界d；往復(fù)運(yùn)動到最低位置時，金屬棒在磁場內(nèi)，設(shè)距離上邊界x，根據(jù)棒所受安培力做功等于裝置的重力做功建立聯(lián)系，列方程求解．

解答 解：（1）裝置受重力、支持力和安培力作用，沿導(dǎo)軌向上加速運(yùn)動，由牛頓第二定律得：ma=BIL-mgsinθ，
可得：a=$\frac{BIL}{m}$-gsinθ
（2）設(shè)裝置由靜止釋放到線框的下邊運(yùn)動到磁場的上邊界MN的過程中，線框所受安培力對線框做功的大小為W，根據(jù)動能定理有：
0-0=BIL•d-mgsinθ•4d-W
解得：W=BILd-4mgdsinθ
線框中產(chǎn)生的熱量：Q=W=BILd-4mgdsinθ 
（3）答案見圖（三段運(yùn)動圖象各（1分）：第一段，初速度為零的勻加速運(yùn)動；第二段，加速度比第一段小的勻減速運(yùn)動；第三段，加速度減小的減速運(yùn)動，最終速度為零）

（4）裝置往復(fù)運(yùn)動的最高位置：線框的上邊位于磁場的下邊界，此時金屬棒距磁場上邊界d；往復(fù)運(yùn)動到最低位置時，金屬棒在磁場內(nèi)，設(shè)距離上邊界x，
mgsinθ•（x+d）=BIL•x
得：x=$\frac{mgdsinθ}{BIL-mgsinθ}$
最高位置與最低位置之間的距離為：x+d=$\frac{BILd}{BIL-mgsinθ}$
答：（1）求剛釋放時裝置加速度的大小為$\frac{BIL}{m}$-gsinθ
（2）求這一過程中線框中產(chǎn)生的熱量為BILd-4mgdsinθ
（3）整個裝置向上運(yùn)動過程中的速度-時間（v-t）圖象如圖所示；
（4）穩(wěn)定后裝置運(yùn)動的最高位置與最低位置之間的距離為$\frac{BILd}{BIL-mgsinθ}$．

點(diǎn)評 注意當(dāng)線框在磁場中運(yùn)動產(chǎn)生感應(yīng)電流時，安培力做功從而產(chǎn)生熱量．該題考查了動能定理以及微元法在磁場中的運(yùn)用，微元法思想的滲透對加深學(xué)生對物理概念、物理規(guī)律的理解，提高解決物理問題的能力有很大的幫助．該題難度很大，涉及的知識點(diǎn)比較多，對同學(xué)們的能力要求很高，屬于難題．