Question

7．如圖所示，在水平面上有一電動(dòng)小車，車上固定一個(gè)小鐵鉤，總質(zhì)量m=0.50kg，在O點(diǎn)懸掛一條不可伸長的細(xì)繩，繩長L=2.0m，下端C點(diǎn)結(jié)有一質(zhì)量可忽略的小輕環(huán)，過細(xì)繩中點(diǎn)作一水平線AB，在這條水平線上釘一釘子，然后讓小車從距離C點(diǎn)s=2.0m處，以恒定功率P=5.0w開始啟動(dòng)，小車受到地面恒定阻力f=0.50N，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=2.0s后，小車電動(dòng)機(jī)自動(dòng)關(guān)閉，繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，車上鐵鉤剛好插入繩下端的輕環(huán)，并緊扣在一起，所有碰撞忽略能量損失．

（1）小車鐵鉤插入輕環(huán)后的瞬間，細(xì)繩的拉力多大？
（2）細(xì)繩碰到釘子之后，小車將繞著釘子做圓周運(yùn)動(dòng)，若能通過最高點(diǎn)，求釘子離豎直線0C的距離d₁的取值范圍．
（3）將細(xì)繩換成勁度系數(shù)k=10N/m的彈性細(xì)橡皮筋，橡皮筋原長也是L=2.0m，且下端同樣結(jié)上輕環(huán)，要使小車剛要離開地面時(shí)，橡皮筋恰好碰到釘子，求釘子離豎直線0C的距離d₂．（g取10m/s²，結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）應(yīng)用動(dòng)能定理求得小車在C點(diǎn)的速度，再由牛頓第二定律求得拉力；
（2）由幾何關(guān)系求得最高點(diǎn)高度與d₁的關(guān)系式，再由動(dòng)能定理求得在最高點(diǎn)的速度，然后利用牛頓第二定律即可求解；
（3）小車要離開地面時(shí)，地面對小車的支持力為零，對小車進(jìn)行受力分析，小車受力平衡，再利用胡克定律即可求解．

解答 解：（1）設(shè)小車在C點(diǎn)的速度為v，小車在水平面上運(yùn)動(dòng)，只有外力和阻力做功，所以，運(yùn)用動(dòng)能定理，可得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}-0=Pt-fs$，
因?yàn)榧?xì)繩不可伸長，所以，小球到達(dá)C點(diǎn)后將做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)小車鐵鉤插入輕環(huán)后的瞬間，細(xì)繩的拉力為T，則有：$T-mg=\frac{m{v}^{2}}{L}$，
所以，$T=mg+\frac{m{v}^{2}}{L}=mg+\frac{2（Pt-fs）}{L}$=$0.50×10+\frac{2×（5.0×2.0-0.50×2.0）}{2.0}（N）$=14N；
（2）細(xì)繩碰到釘子之后，小車將繞著釘子做圓周運(yùn)動(dòng)，若能通過最高點(diǎn)，設(shè)小車在最高點(diǎn)處的速度為v′，
則小車做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑$R=L-\sqrt{（\frac{L}{2}）^{2}+{s24gaw2_{1}}^{2}}=2-\sqrt{1+{yw2606e_{1}}^{2}}＞0$，所以，$mg≤\frac{mv{′}^{2}}{R}$；
在C點(diǎn)之后，小車運(yùn)動(dòng)過程中只有重力做功，所以，由動(dòng)能定理可得：$-mg（\frac{L}{2}+R）=\frac{1}{2}mv{′}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
所以，mgR≤mv′²=mv²-mg（L+2R），
所以，$R≤\frac{1}{3}（\frac{m{v}^{2}}{mg}-L）$=$\frac{8}{15}m$，所以，$0＜2-\sqrt{1+{g4mu2u6_{1}}^{2}}≤\frac{8}{15}$，
所以，1.1m≤d₁＜1.7m；
（3）當(dāng)小車到達(dá)C點(diǎn)右端xm處時(shí)，橡皮筋的彈力$T=k（\sqrt{4+{x}^{2}}-2）$，其在豎直方向上的分量${T}_{N}=\frac{2}{\sqrt{4+{x}^{2}}}T=2k（1-\frac{2}{\sqrt{4+{x}^{2}}}）$；
所以，x 越大，T_N越大；當(dāng)T_N=mg時(shí)，小車將要離開地面，此時(shí)x=2d₂；
所以，$2k（1-\frac{1}{\sqrt{1+{c0umgw0_{2}}^{2}}}）=mg$，所以，$yyo2suw_{2}=\frac{\sqrt{7}}{3}m=0.88m$．
答：（1）小車鐵鉤插入輕環(huán)后的瞬間，細(xì)繩的拉力為14N；
（2）細(xì)繩碰到釘子之后，小車將繞著釘子做圓周運(yùn)動(dòng)，若能通過最高點(diǎn)，則釘子離豎直線0C的距離d₁的取值范圍為[1.1m，1.7m）．
（3）將細(xì)繩換成勁度系數(shù)k=10N/m的彈性細(xì)橡皮筋，橡皮筋原長也是L=2.0m，且下端同樣結(jié)上輕環(huán)，要使小車剛要離開地面時(shí)，橡皮筋恰好碰到釘子，則釘子離豎直線0C的距離d₂為0.88m．

點(diǎn)評(píng) 在物體運(yùn)動(dòng)問題中，常用動(dòng)能定理求解物體初、末速度或某力在這一過程中所做的功．