Question

11．光滑的$\frac{1}{4}$圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，與水平軌道CE連接．水平軌道的CD段光滑、DE段粗糙．一根輕質(zhì)彈簧一端固定在C處的豎直面上，彈簧處于自然長度另一端恰好在D點(diǎn)．將質(zhì)量為m的物塊從頂端F點(diǎn)靜止釋放后，沿圓弧軌道下滑．物塊滑至D點(diǎn)后向左壓縮彈簧．已知圓弧軌道半徑為R，$\overline{DE}$=L，物塊與DE段水平軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，重力加速度為g，物塊可視為質(zhì)點(diǎn)．求：
（1）物塊第一次經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)對圓弧軌道的壓力多大
（2）若物塊不能與彈簧相碰，設(shè)物塊從E點(diǎn)到運(yùn)動(dòng)停止所用的時(shí)間為t，求R得取值范圍及t與R的關(guān)系式．
（3）如果物塊能與彈簧相碰，但不能返回道圓弧部分，設(shè)壓縮彈簧過程中彈簧的最大彈性勢能為E_p，求R的取值范圍及E_p與R的關(guān)系式（彈簧始終在彈性限度內(nèi)）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出物塊第一次經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)的速度．物塊經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解物塊第一次經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力．
（2）設(shè)物塊恰好不能與彈簧相碰時(shí)，圓弧軌道半徑為R₁，從F到D由動(dòng)能定理有：mgR₁-μmgL=0-0解得：R₁=0.2L，則物塊不能與彈簧相碰R必須滿足：R＜0.2L
（3）物塊要能與彈簧相碰，R≥0.2L，設(shè)物塊恰好到達(dá)E點(diǎn)時(shí)，圓弧軌道半徑為R₂，從F到E由動(dòng)能定理求范圍．

解答 解：（1）從F到E對物塊由動(dòng)能定理有：
$mgR=\frac{1}{2}mv_E^2$
解得${v_E}=\sqrt{2gR}$
在E點(diǎn)對物塊由牛頓第二定律有：
${N_E}-mg=m\frac{v_E^2}{R}$
解得N_E=3mg
由牛頓第三定律有：F_E=3mg
（2）設(shè)物塊恰好不能與彈簧相碰時(shí)，圓弧軌道半徑為R₁
從F到D由動(dòng)能定理有：
mgR₁-μmgL=0-0
解得：R₁=0.2L
則物塊不能與彈簧相碰R必須滿足：R＜0.2L
對物塊由牛頓第二定律有：
μmg=ma解得a=μg
則物塊從E點(diǎn)到運(yùn)動(dòng)停止所用的時(shí)間為
$t=\frac{{0-{v_E}}}{-a}=5\sqrt{\frac{2R}{g}}$
（3）由（2）可知物塊要能與彈簧相碰，R≥0.2L
設(shè)物塊恰好到達(dá)E點(diǎn)時(shí)，圓弧軌道半徑為R₂
從F到E由動(dòng)能定理有：
mgR₂-μmg•2L=0-0
解得：R₂=0.4L
則R的范圍是：0.2L≤R≤0.4L
從F點(diǎn)到彈簧壓縮得最短，對物塊與彈簧組成的系統(tǒng)，由能量守恒定律有：
-μmgL=E_P-mgR解得
E_P=mgR-0.2mgL
答：（1）物塊第一次經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)對圓弧軌道的壓力3mg（2）若物塊不能與彈簧相碰，R＜0.2L，t=$5\sqrt{\frac{2R}{g}}$
（3）如果物塊能與彈簧相碰，但不能返回道圓弧部分，R的取值范圍0.2L≤R≤0.4L
E_p與R的關(guān)系式E_P=mgR-0.2mgL

點(diǎn)評 本題綜合考查了機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理，對學(xué)生能力的要求較高．要注意物體恰好不能回到圓軌道的條件．