Question

7．如圖所示，輕桿的一端用鉸鏈固定在豎直轉(zhuǎn)軸OO′上的O端，另一端固定一小球，輕桿可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，當(dāng)轉(zhuǎn)軸以某一角速度勻速轉(zhuǎn)動時，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周轉(zhuǎn)動，此時輕桿與豎直轉(zhuǎn)軸OO′的夾角為37°．已知轉(zhuǎn)軸O端距離水平地面的高度為h，輕桿長度為L，小球的質(zhì)量為m，重力加速度為g，取sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，求：
（1）小球做勻速圓周運動的線速度v．
（2）若某時刻小球從輕桿上脫落，小球的落地點到轉(zhuǎn)軸的水平距離d．
（3）若緩慢增大轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)速，求輕桿與轉(zhuǎn)軸的夾角從37°增加到53°的過程中，輕桿對小球所做的功W．

Answer 1

分析 （1）小球在水平面做勻速圓周運動，合外力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解線速度；
（2）小球從輕桿上脫落后做平拋運動，根據(jù)平拋運動基本公式結(jié)合幾何關(guān)系求解；
（3）夾角增加到53°時，仍做勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律列式求出線速度，再結(jié)合動能定理列式求解輕桿對小球所做的功W．

解答 解：（1）小球在水平面做勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律得：
mgtan$37°=\frac{{mv}^{2}}{Lsin37°}$
解得：v=$\frac{3}{10}\sqrt{5gL}$
（2）小球從輕桿上脫落后做平拋運動，
根據(jù)平拋運動的規(guī)律有：h-Lcosθ=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平位移x=vt
根據(jù)幾何關(guān)系有：d²=x²+（Lsinθ）²
解得：d=$\frac{3}{10}\sqrt{10hL-4{L}^{2}}$
（3）設(shè)夾角增加到53°時，小球的速度為v′，則
$mgtan53°=\frac{mv{′}^{2}}{Lsin53°}$
由動能定理得：
W-mgL（cos37°-cos53°）=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：W=$\frac{61}{120}mgL$
答：（1）小球做勻速圓周運動的線速度v為$\frac{3}{10}\sqrt{5gL}$．
（2）若某時刻小球從輕桿上脫落，小球的落地點到轉(zhuǎn)軸的水平距離d為$\frac{3}{10}\sqrt{10hL-4{L}^{2}}$．
（3）輕桿對小球所做的功為$\frac{61}{120}mgL$．

點評 本題主要考查了牛頓第二定律、平拋運動基本公式以及動能定理的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析物體的受力情況，知道小球從輕桿上脫落后做平拋運動，并能結(jié)合幾何關(guān)系求解，難度適中．