【題目】(2016全國卷,25) 輕質彈簧原長為2l,將彈簧豎直放置在地面上,在其頂端將一質量為5m的物體由靜止釋放,當彈簧被壓縮到最短時,彈簧長度為l,F(xiàn)將該彈簧水平放置,一端固定在A點,另一端與物塊P接觸但不連接。AB是長度為5l的水平軌道,B端與半徑為l的光滑半圓軌道BCD相切,半圓的直徑BD豎直,如圖所示。物塊P與AB間的動摩擦因數(shù)μ=0.5。用外力推動物塊P,將彈簧壓縮至長度l,然后放開P開始沿軌道運動,重力加速度大小為g。

(1)若P的質量為m,求P到達B點時速度的大小,以及它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點之間的距離;

(2)若P能滑上圓軌道,且仍能沿圓軌道滑下,求P的質量的取值范圍。

【答案】(1) 2l (2) m≤M<m

【解析】(1)依題意,當彈簧豎直放置,長度被壓縮至l時,質量為5m的物體的動能為零,其重力勢能轉化為彈簧的彈性勢能。由機械能守恒定律知,彈簧長度為l時的彈性勢能為

Ep=5mgl

設P到達B點時的速度大小為vB,由能量守恒定律得

Epmv+μmg(5l-l)

聯(lián)立①②式,并代入題給數(shù)據(jù)得

vB

若P能沿圓軌道運動到D點,其到達D點時的向心力不能小于重力,即P此時的速度大小v應滿足

-mg≥0

設P滑到D點時的速度為vD,由機械能守恒定律得

mvmv+mg·2l

聯(lián)立③⑤式得vD

vD滿足式要求,故P能運動到D點,并從D點以速度vD水平射出。設P落回到軌道AB所需的時間為t,由運動學公式得

2l=gt2

P落回到AB上的位置與B點之間的距離為s=vDt

聯(lián)立⑥⑦⑧式得

s=2l

(2)設P的質量為M,為使P能滑上圓軌道,它到達B點時的速度不能小于零。由①②式可知

5mgl>μMg·4l

要使P仍能沿圓軌道滑回,P在圓軌道的上升高度不能超過半圓軌道的中點C。由機械能守恒定律有

MvB2≤Mgl

EpMvB2+μMg·4l

聯(lián)立①⑩式得

m≤M<m

練習冊系列答案
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