Question

17．如圖所示．某一平面內(nèi)有一半徑為R的圓形區(qū)城，一條直線與圓相交．圓心O到直線的距離為$\frac{3}{5}$R．一個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿直線在圓上的a點(diǎn)射入，在圓形區(qū)域內(nèi)所受合力F₁的大小不變，方向始終與速度方向垂直，質(zhì)點(diǎn)在圓上的b點(diǎn)離開該區(qū)域，離開時(shí)速度方向與直線垂直．同一質(zhì)點(diǎn)以同樣速度沿直線在圓上的a點(diǎn)射入，在圓形區(qū)域內(nèi)所受合力F₂的大小不變，方向始終與直線方向垂直，質(zhì)點(diǎn)也在b點(diǎn)離開該區(qū)域．求：
（1）b點(diǎn)到直線的距離．
（2）F₁與F₂的比值．

Answer 1

分析 （1）過(guò)b點(diǎn)和O點(diǎn)做垂直于沿圖中直線的垂線，分別于直線交與c和d點(diǎn)，由幾何關(guān)系知，線段ac、bc和過(guò)a、b兩點(diǎn)的軌跡圓弧的兩條半徑圍成一正方形，由幾何關(guān)系可以得到半徑，從而求出b點(diǎn)到直線的距離
（2）粒子在F₂作用下做類平拋，由平拋規(guī)律可以表示出來(lái)其大小，再由勻速圓周運(yùn)動(dòng)表示出來(lái)F₁的大小，進(jìn)而得到F₂．

解答 解：（1）過(guò)b點(diǎn)和O點(diǎn)做垂直于沿圖中直線的垂線，分別于直線交與c和d點(diǎn)，由幾何關(guān)系知，線段ac、bc和過(guò)a、b兩點(diǎn)的軌跡圓弧的兩條半徑圍成一正方形，如圖：
因此有：
ac=bc=r
設(shè)cd=x，圓心O到直線的距離為$\frac{3}{5}$R，則ad=$\frac{4}{5}R$，由幾何關(guān)系得：
$ac=\frac{4}{5}R+x$
$bc=\frac{3}{5}R+\sqrt{{R}_{\;}^{2}-{x}_{\;}^{2}}$
聯(lián)立解得：
$x=\frac{3}{5}R$
所以$bc=\frac{7}{5}R$，即b點(diǎn)到直線的距離為$\frac{7}{5}R$
（2）粒子在F₂的作用下做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)其加速度大小為a，物體在圓形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，由牛頓第二定律得：
F₂=ma…①
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：
$r=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$…②
r=vt…③
由②③解得：
$a=\frac{2{v}_{\;}^{2}}{r}$
代入①得：
${F}_{2}^{\;}=m\frac{2{v}_{\;}^{2}}{r}=2\frac{m{v}_{\;}^{2}}{r}$
粒子在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子在a點(diǎn)的速度為v，圓周半徑為r，由向心力公式得：
${F}_{1}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
故$\frac{{F}_{1}^{\;}}{{F}_{2}^{\;}}=\frac{1}{2}$
答：（1）b點(diǎn)到直線的距離$\frac{7}{5}R$．
（2）F₁與F₂的比值$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，要求作圖能力，數(shù)學(xué)幾何能力都比較好才行，有點(diǎn)偏重?cái)?shù)學(xué)了