Question

20．如圖所示，兩根半徑為r的$\frac{1}{4}$圓弧軌道間距為L(zhǎng)，其頂端a、b與圓心處等高，軌道光滑且電阻不計(jì)，在其上端連有一阻值為R的電阻，整個(gè)裝置處于輻向磁場(chǎng)中，圓弧軌道所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B．將一根長(zhǎng)度稍大于L、質(zhì)量為m、電阻為R₀的金屬棒從軌道頂端ab處由靜止釋放．已知當(dāng)金屬棒到達(dá)如圖所示的cd位置（金屬棒與軌道圓心連線和水平面夾角為θ）時(shí)，金屬棒的速度達(dá)到最大；當(dāng)金屬棒到達(dá)軌道底端ef時(shí)，對(duì)軌道的壓力為1.5mg．求：
（1）當(dāng)金屬棒的速度最大時(shí)，流經(jīng)電阻R的電流大小和方向；
（2）金屬棒滑到軌道底端的整個(gè)過程中流經(jīng)電阻R的電量；
（3）金屬棒滑到軌道底端的整個(gè)過程中電阻R上產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）金屬棒速度最大時(shí)，在軌道切線方向所受合力為0，由此條件列式求解流經(jīng)電阻R的電流大小，由右手定則判斷電流方向．
（2）金屬棒下滑過程中，回路的磁通量增加，先求出磁通量的增加量，再由法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律求電量．
（3）先由牛頓第二定律求出金屬棒到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度，再根據(jù)能量守恒定律求電阻R上產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）金屬棒速度最大時(shí)，在軌道切線方向所受合力為0，則有：
mgcosθ=BIL
解得：I=$\frac{mgcosθ}{BL}$，流經(jīng)R的電流方向?yàn)閍→R→b．
（2）金屬棒滑到軌道底端的整個(gè)過程中，穿過回路的磁通量變化量為：
△Φ=BS=B•L•$\frac{πr}{2}$=$\frac{BLπr}{2}$
平均電動(dòng)勢(shì)為：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$，平均電流為：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+{R}_{0}}$
則流經(jīng)電阻R的電量：q=$\overline{I}△$t=$\frac{△Φ}{R+{R}_{0}}$=$\frac{BLπr}{2（R+{R}_{0}）}$
（3）在軌道最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
據(jù)題有：N=1.5mg
由能量轉(zhuǎn)化和守恒得：Q=mgr-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{3}{4}$mgr
電阻R上發(fā)熱量為：Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q=$\frac{3mgrR}{4（R+{R}_{0}）}$
答：（1）當(dāng)金屬棒的速度最大時(shí)，流經(jīng)電阻R的電流大小為$\frac{mgcosθ}{BL}$，流經(jīng)R的電流方向?yàn)閍→R→b．
（2）金屬棒滑到軌道底端的整個(gè)過程中流經(jīng)電阻R的電量為$\frac{BLπr}{2（R+{R}_{0}）}$．
（3）金屬棒滑到軌道底端的整個(gè)過程中電阻R上產(chǎn)生的熱量為$\frac{3mgrR}{4（R+{R}_{0}）}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是明確金屬棒是垂直切割磁感線的，與平直軌道上運(yùn)動(dòng)情況相似，注意電量與磁通量的變化量有關(guān)，熱量往往根據(jù)能量守恒求解．